자연계열 3번

좌표평면 위의 세 점 $\displaystyle \mathrm P,\mathrm Q,\mathrm R$의 좌표를 각각 $\displaystyle (x,y),\;(x^{\prime},y^{\prime}),\;(a,b)$라고 하자. 점 $\displaystyle \mathrm P$와 $\displaystyle \mathrm Q$가 직선 $\displaystyle y=\sqrt3x$에 대하여 대칭이므로 실수 $\displaystyle x,y,x^{\prime},y^{\prime}$는 다음의 두 식을 만족한다.$\displaystyle \frac{y^{\prime}-y}{x^{\prime}-x}=-\frac1{\sqrt3},\quad\frac{y+y^{\prime}}2=\sqrt3\left(\frac{x+x^{\prime}}2\right)$그러므로 점 $\displaystyle \mathrm Q$의 좌표를 $\displaystyle x,y$로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \mathrm Q=(x^{\prime},y^{\prime})=\left(-\frac12x+\frac{\sqrt3}2y,\frac{\sqrt3}2x+\frac12y\right)$$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PO}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OR}}$로 부터, 점 $\displaystyle \mathrm R$의 좌표는 다음과 같다.$\displaystyle \mathrm R=(a,b)=\left(-\frac32x+\frac{\sqrt3}2y,\frac{\sqrt3}2x-\frac12y\right)$

한편, $\displaystyle \frac{\sqrt3}2x-\frac12y=-\frac1{\sqrt3}\left(-\frac32x+\frac{\sqrt3}2y\right)$이므로 실수 $\displaystyle a,b$는 다음을 만족한다.$\displaystyle b=-\frac1{\sqrt3}a$

점 $\displaystyle \mathrm P$가 원 $\displaystyle C$위에 있으므로, 원 $\displaystyle C$와 직선 $\displaystyle -\frac32x+\frac{\sqrt3}2y=a$는 교점을 가져야 한다. 점과 직선사이의 거리 공식으로부터 실수 $\displaystyle a$의 범위는 다음과 같다.$\displaystyle \frac{\left|\frac{\sqrt3}2c-a\right|}{\sqrt3}\le4c^2+\frac1c\;\Rightarrow\;\frac{\sqrt3}2c-\sqrt3\left(4c^2+\frac1c\right)\le a\le\frac{\sqrt3}2c+\sqrt3\left(4c^2+\frac1c\right)$

점 $\displaystyle \mathrm P$가 원 $\displaystyle C$위를 시계방향으로 한 바퀴 돌 때, 점 $\displaystyle \mathrm R$은 다음의 선분을 한번 왕복한다.$\displaystyle y=-\frac1{\sqrt3}x,\;\left(\frac{\sqrt3}2c-\sqrt3\left(4c^2+\frac1c\right)\le x\le\frac{\sqrt3}2c+\sqrt3\left(4c^2+\frac1c\right)\right)$그러므로 제시문 (ㄹ)의 $\displaystyle l$은 다음과 같다.Correction. 이동거리 $\displaystyle l$을 정의한 제시문 (ㄹ)은 (ㄴ)의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle l=2\times\frac2{\sqrt3}\times2\sqrt3\left(4c^2+\frac1c\right)=8\left(4c^2+\frac1c\right)$

$\displaystyle x>0$인 실수에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)=8\left(4x^2+\frac1x\right)$라고 하자. $\displaystyle g^{\prime}(x)=8\left(8x-\frac1{x^2}\right)$이므로, $\displaystyle x>\frac12$인 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g^{\prime}(x)>0$이다. 그러므로 함수 $\displaystyle g(x)$는 구간 $\displaystyle [1,3]$에서 증가한다.

따라서 제시문 (ㄹ)의 상수 $\displaystyle l$은 $\displaystyle c=1$에서 최솟값 $\displaystyle 40$을 갖는다.