의예과 3번

$\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle 0\le t\le1$에서는 $\displaystyle f(t)=2t,\;1\le t\le\frac43$에서는 $\displaystyle f(t)=4-2t$이다.

1) $\displaystyle 0\le x\le1$일 때$\displaystyle \begin{aligned}g(x)&=\int_0^{\frac x2}(x-f(t))dt+\int_{\frac x2}^x(f(t)-x)dt\\&=\int_0^{\frac x2}(x-2t)dt+\int_{\frac x2}^x(2t-x)dt\\&=\Biggl[xt-t^2\Biggr]_0^{\frac x2}+\Biggl[t^2-xt\Biggr]_{\frac x2}^x=\frac{x^2}2\end{aligned}$이 된다.

2) $\displaystyle 1<x\le\frac43$일 때$\displaystyle \begin{aligned}g(x)&=\int_0^{\frac x2}(x-f(t))dt+\int_{\frac x2}^x(f(t)-x)dt\\&=\int_0^{\frac x2}(x-2t)dt+\int_{\frac x2}^1(2t-x)dt+\int_1^x(4-2t-x)dt\\&=\Biggl[xt-t^2\Biggr]_0^{\frac x2}+\Biggl[t^2-xt\Biggr]_{\frac x2}^1+\Biggl[4t-t^2-xt\Biggr]_1^x\\&=-\frac{3x^2}2+4x-2\end{aligned}$이 된다. 따라서$\displaystyle g(x)=\begin{cases}\frac{x^2}2&(0\le x\le1)\\-\frac{3x^2}2+4x-2&\left(1<x\le\frac43\right)\end{cases}$

또한 $\displaystyle y=g(x)$와 직선 $\displaystyle y=ax$가 서로 다른 세 점에서 만나기 위해서는 위 그래프와 같이 $\displaystyle y=ax$가 $\displaystyle \left(1,\frac12\right),\;\left(\frac43,\frac23\right)$를 지나야 하므로 직선의 기울기 $\displaystyle a$는 $\displaystyle \frac12$이상이어야 하고, $\displaystyle y=g(x)$와 직선 $\displaystyle y=ax$가 구간 $\displaystyle \left[1,\frac43\right]$에서 접할 때의 직선의 기울기보다 작아야 한다.Comment. ‘두 점을 지나야 한다’는 표현은 부정확하다. 두 점을 모두 지나는 것은 $\displaystyle a=\frac12$일 때뿐이며, 여기서는 직선의 기울기가 $\displaystyle \frac12$ 이상이어야 한다고 설명하는 것이 맞다. 이후 접하는 경우를 제외하여 구한 범위 $\displaystyle \frac12\le a<4-2\sqrt3$은 옳다.

이때 접하는 점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle x_0$라고 하면, $\displaystyle x_0$은$\displaystyle \begin{cases}-3x_0+4=a\\-\frac32x_0^2+4x_0-2=ax_0\end{cases}$을 만족하고, 연립해서 풀면 양수인 $\displaystyle x_0$는 $\displaystyle \frac{2\sqrt3}3$, $\displaystyle a=4-2\sqrt3$이므로 직선의 기울기 $\displaystyle a$는 $\displaystyle 4-2\sqrt3$보다 작아야 한다. 따라서 구하는 집합$\displaystyle A=\left\{a\;\middle|\;\frac12\le a<4-2\sqrt3\right\}$이다.