생활과학·미디어 3번

제시문 (ㄱ)의 함수 $\displaystyle f(x)$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h=\lim_{h\to0}\frac{f(x)+f(h)+4xh-f(x)}h\\&=4x+\lim_{h\to0}\frac{f(h)}h\end{aligned}$

한편, $\displaystyle f(0+0)=f(0)+f(0)+0$으로부터 $\displaystyle f(0)=0$임을 안다.

따라서,$\displaystyle f^{\prime}(x)=4x+\lim_{h\to0}\frac{f(h)}h=4x+\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h-0}=4x+f^{\prime}(0)=4x+3$이다.

그러므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부정적분은$\displaystyle f(x)=\int f^{\prime}(x)dx=2x^2+3x+C$이다.

그리고 $\displaystyle f(0)=0$에 의해 $\displaystyle C=0$이므로 $\displaystyle f(x)=2x^2+3x$이다. 따라서, $\displaystyle f(1)=5$이다.

논제 1로부터 $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x+3$이므로 $\displaystyle f(x)$가 증가하는 구간은$\displaystyle f^{\prime}(x)>0\;\Leftrightarrow\;4x+3>0\;\Leftrightarrow\;x>-\frac34$이다.

즉, $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle \left(-\frac34,\infty\right)$에서 증가하고 문제에서 $\displaystyle m$의 최솟값은 $\displaystyle -\frac34$이다.