의예과 1번

$\displaystyle \triangle\mathrm{CDM}$에서 점 $\displaystyle \mathrm E$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{DM}}$위에 있으므로 다음이 성립한다.$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CE}}=t\overrightarrow{\mathrm{CD}}+(1-t)\overrightarrow{\mathrm{CM}}\quad(0\le t\le1)$한편, $\displaystyle \triangle\mathrm{BCN}$에서는 점 $\displaystyle \mathrm E$가 $\displaystyle \overline{\mathrm{BN}}$위에 있으므로$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CE}}=s\overrightarrow{\mathrm{CN}}+(1-s)\overrightarrow{\mathrm{CB}}\quad(0\le s\le1)$이다. 점 $\displaystyle \mathrm M$은 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$의 삼등분 점 중 점 $\displaystyle \mathrm B$에 가까운 점이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CM}}=\frac23\overrightarrow{\mathrm{CB}}$이고, 점 $\displaystyle \mathrm N$은 $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}$를 $\displaystyle 3:2$로 내분한 점이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CN}}=\frac35\overrightarrow{\mathrm{CD}}$이다. 즉,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CE}}=t\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\frac23(1-t)\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\frac35s\overrightarrow{\mathrm{CD}}+(1-s)\overrightarrow{\mathrm{CB}}$이다.

영벡터가 아닌 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD}},\;\overrightarrow{\mathrm{CB}}$가 서로 평행하지 않으므로 $\displaystyle s,t$는$\displaystyle \begin{aligned}t=\frac35s\;&\Rightarrow\;3s-5t=0\\\frac23(1-t)=1-s\;&\Rightarrow\;3s-2t=1\end{aligned}$을 만족하고, 이를 연립해서 풀면 $\displaystyle s=\frac59,\;t=\frac13$이다.그러므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CE}}=\frac49\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\frac13\overrightarrow{\mathrm{CD}}$, 즉 $\displaystyle m=\frac49,\;n=\frac13$이다.

한편, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BF}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD}}$는 평행이므로 실수 $\displaystyle l$에 대하여 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BF}}=l\overrightarrow{\mathrm{CD}}$이다. 따라서$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CF}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{BF}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}+l\overrightarrow{\mathrm{CD}}$이고, 또 제시문 (ㄷ)에서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CF}}=k\overrightarrow{\mathrm{CE}}$를 만족하므로$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CF}}=k\overrightarrow{\mathrm{CE}}=\frac49k\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\frac13k\overrightarrow{\mathrm{CD}}$이다.

그러므로$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CF}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}+l\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac49k\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\frac13k\overrightarrow{\mathrm{CD}}$이고, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CB}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD}}$는 평행이 아니므로 $\displaystyle \frac49k=1,\;\frac13k=l$이다. 따라서, $\displaystyle k=\frac94$이다.