자연계열 1번

타원 $\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$의 두 초점은 $\displaystyle \mathrm{F}(3,0),\;\mathrm{F}^{\prime}(-3,0)$이다.

타원 위의 점 $\displaystyle \mathrm{A}$를 $\displaystyle \mathrm{A}=(x,y)$라 하면 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AF}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AF}^{\prime}}$는 각각 $\displaystyle (3-x,-y),\;(-3-x,-y)$이고, 따라서$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AF}^{\prime}}=(3-x,-y)\cdot(-3-x,-y)=x^2+y^2-9$이다.

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AF}^{\prime}}=x^2+y^2-9=k$로 두면 점 $\displaystyle \mathrm{A}$는 중심이 원점이고 반지름이 $\displaystyle \sqrt{k+9}$인 원위를 움직인다. 이 때, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AF}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AF}^{\prime}}$는 $\displaystyle \sqrt{k+9}=\sqrt7$일 때 최솟값, $\displaystyle \sqrt{k+9}=4$일때 최댓값을 갖는다. (그림 1 참조) 따라서, $\displaystyle M=7,\;m=-2$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{B}(4,0)$이 꼭짓점이고 $\displaystyle \mathrm{F}(3,0)$이 초점인 포물선은 원점이 꼭짓점이고 $\displaystyle (-1,0)$이 초점인 포물선 $\displaystyle y^2=-4x$를 $\displaystyle x$축으로 $\displaystyle 4$만큼 평행이동시킨 $\displaystyle y^2=-4(x-4)$이다.

이 포물선이 $\displaystyle y$축과 만나는 점의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle y^2=-4(0-4)$에서 $\displaystyle y=\pm4$이고, 이 중 $\displaystyle y$좌표가 양수인 점 $\displaystyle \mathrm{C}$는 $\displaystyle (0,4)$이다. 한편, 점 $\displaystyle \mathrm{C}$에서 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$에 그은 접선이 타원과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{D}(x_1,y_1)$이라 하면, 점 $\displaystyle \mathrm{D}$는 다음 두 식을 만족한다.$\displaystyle \frac{0x_1}{16}+\frac{4y_1}{7}=1,\quad\frac{x_1^2}{16}+\frac{y_1^2}{7}=1$이 두 식을 만족하는 점은 $\displaystyle (x_1,y_1)=\left(-3,\frac74\right),\left(3,\frac74\right)$이고, 이 중 접선의 기울기가 양수인 점 $\displaystyle \mathrm{D}$는 $\displaystyle \left(-3,\frac74\right)$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{B}$와 $\displaystyle \mathrm{D}$를 지나는 직선은 $\displaystyle y=-\frac14(x-4)$이고 이 직선과 $\displaystyle y$축이 만나는 점 $\displaystyle (0,1)$을 $\displaystyle \mathrm{E}$라 두면, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BCD}$의 넓이는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BCE}$의 넓이와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{CDE}$의 넓이의 합이다. 따라서, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BCD}$의 넓이는 $\displaystyle \frac12(3\times3+3\times4)=\frac{21}{2}$이다. (그림 2 참조)