의예과 3번

빨간 상자에서 $\displaystyle k$가 뽑힐 확률은 $\displaystyle \frac1{100}$이므로 확률변수 $\displaystyle X$에 대하여 확률 $\displaystyle \mathrm P(X=k)$는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm P(X=k)&=\mathrm P(X=k\mid\text{빨간 상자에서 1이 뽑힘})+\mathrm P(X=k\mid\text{빨간 상자에서 2가 뽑힘})\\&\qquad+\cdots+\mathrm P(X=k\mid\text{빨간 상자에서 }k\text{가 뽑힘})\\&=\frac1{100}\left(\frac1{100}+\frac1{100-1}+\cdots+\frac1{100-k+1}\right),\;k=1,2,\cdots,100\end{aligned}$Correction. 첫 등식의 각 조건부확률에는 빨간 상자에서 해당 수를 뽑을 확률 $\displaystyle 1/100$을 곱해야 한다. 이 인수는 마지막 계산식에만 반영되어 있다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서 기댓값 $\displaystyle \mathrm E(X)$는$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm E(X)=\sum_{k=1}^n k\mathrm P(X=k)&=1\times\frac1{100}\left(\frac1{100}\right)\\&\quad+2\times\frac1{100}\left(\frac1{100}+\frac1{99}\right)\\&\quad+3\times\frac1{100}\left(\frac1{100}+\frac1{99}+\frac1{98}\right)\\&\quad\vdots\\&\quad+100\times\frac1{100}\left(\frac1{100}+\frac1{99}+\cdots+\frac11\right)\end{aligned}$Correction. 기댓값을 구하는 합의 위끝 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 100$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \begin{aligned}&=\frac1{100}[\frac1{100}(1+2+\cdots+100)+\frac1{99}(2+3+\cdots+100)+\cdots+\frac11(100)]\\&=\frac1{100}[\frac1{100}\frac{100(1+100)}2+\frac1{99}\frac{99(2+100)}2+\cdots+\frac11\frac{1(100+100)}2]\\&=\frac1{100}\left(\frac{101}2+\frac{102}2+\cdots+\frac{200}2\right)\end{aligned}$

$\displaystyle =\frac1{200}\times\frac{100(101+200)}2=\frac{301}4$그러므로 구하는 기댓값 $\displaystyle \mathrm E(X)$는 $\displaystyle \frac{301}4$이다.