의예과 2번

$\displaystyle f(x)=-\sqrt{ax+b}-2$에서 $\displaystyle f(x)\le-2$이므로$\displaystyle g(x)=\frac{x^2+4x+4-b}{a},\;x\le-2$

$\displaystyle h(x)=g(x)-x=\frac{x^2+(4-a)x+4-b}{a}$라고 하면$\displaystyle y=g(x)$와 $\displaystyle y=x$가 두 점에서 만나고, 두 교점 사이의 거리가 $\displaystyle \sqrt2$이므로, $\displaystyle h(x)=0$은 $\displaystyle x\le-2$에서 차가 $\displaystyle 1$인 두 근을 가져야 한다. 두 근을 $\displaystyle x_1,x_2(x_2=x_1+1)$라 하고, 이러한 조건을 만족하는 경우를 살펴보면1) $\displaystyle a<0$이므로 축 $\displaystyle x=-\frac{4-a}{2}<-2$를 만족한다.2) $\displaystyle h(-2)=\frac{2a-b}{a}\le0$이므로 $\displaystyle 2a\ge b$를 만족해야 한다.3) $\displaystyle (x_2-x_1)^2=(4-a)^2-4(4-b)=1$이므로$\displaystyle b=\frac{1+8a-a^2}{4}$이어야 하고, 이때$\displaystyle D=\frac1{a^2}((4-a)^2-4(4-b))=\frac1{a^2}$이므로, $\displaystyle D>0$을 만족한다.2)와 3)에서 $\displaystyle 2a\ge\frac{1+8a-a^2}{4}$, 즉 $\displaystyle a\le-1$이다.

$\displaystyle S=\frac1a\int_{x_1}^{x_2}h(x)dx=\frac1a\int_{x_1}^{x_2}(x-x_1)(x-x_2)dx$이므로Correction. 첫 번째 넓이 적분 앞의 $\displaystyle 1/a$는 불필요한 계수이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle x=t+x_1$이라고 치환하면, $\displaystyle \frac{dx}{dt}=1$이고$\displaystyle S=\frac1a\int_0^1t(t-1)dt=\frac1a\Biggl[\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}\Biggr]_0^1=-\frac1{6a}$

따라서 $\displaystyle k=-1$이고 $\displaystyle M$은 $\displaystyle \frac16$이다.