자연계열 2번

$\displaystyle k(x)=f(x)-g(x)=2\ln x-x-\frac3x-a$라고 하자. 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 곡선 $\displaystyle y=g(x)$가 교점이 존재하기 위해서는 $\displaystyle f(x)=2\ln x$의 정의역이 $\displaystyle x>0$이므로, 방정식 $\displaystyle k(x)=0$이 양의 실근을 가져야 한다.

$\displaystyle k^{\prime}(x)=\frac2x-1+\frac3{x^2}=-\frac{x^2-2x-3}{x^2}=-\frac{(x+1)(x-3)}{x^2}$이므로 $\displaystyle k^{\prime}(x)=0$을 만족하는 양의 실근은 $\displaystyle x=3$이다.

양수 구간에서 함수의 증감을 조사하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}x&0<x<3&3&x>3\\\hline k^{\prime}(x)&+&0&-\\\hline k(x)&\nearrow&2\ln3-4-a&\searrow\end{array}$즉 $\displaystyle x=3$에서 극댓값을 갖는다.

제시문 (ㄹ)에 의하여 $\displaystyle \lim_{x\to0+}k(x)=\lim_{x\to0+}\left(2\ln x-x-\frac3x-a\right)=-\infty$이므로,극댓값이 $\displaystyle 0$보다 크거나 같으면 양의 실근을 가진다.$\displaystyle 2\ln3-4-a\geq0$이어야 하므로 $\displaystyle a$값의 범위는 $\displaystyle a\leq2\ln3-4$이다.

$\displaystyle l(x)=f(x)-h(x)=2\ln x-2x-\frac bx$라고 하자.곡선 $\displaystyle y=l(x)$를 $\displaystyle y$축으로 평행이동 하여 $\displaystyle x$축과 두 개 이상의 교점을 가질 수 있게 되는 경우에 곡선 $\displaystyle y=f(x)$를 $\displaystyle y$축으로 평행이동 하여 곡선 $\displaystyle y=h(x)$와 두 개 이상의 교점을 가질 수 있게 된다. 또한 정의역이 $\displaystyle x>0$이므로 $\displaystyle y=l(x)$가 $\displaystyle x>0$에서 극값을 가지는 경우에 곡선 $\displaystyle y=l(x)$를 $\displaystyle y$축으로 평행이동 하여 $\displaystyle x$축과 두 개 이상의 교점을 가지도록 할 수 있다.

$\displaystyle l^{\prime}(x)=\frac2x-2+\frac b{x^2}=-\frac{2x^2-2x-b}{x^2}$에서 $\displaystyle l(x)$가 극값을 가지려면 $\displaystyle 2x^2-2x-b=0$이 중근이 아닌 양의 실근을 가져야 한다.

$\displaystyle r(x)=2x^2-2x-b$라고 하면 $\displaystyle r(x)$는 $\displaystyle x=\frac12$에서 최솟값을 가지므로, 최솟값 $\displaystyle r\left(\frac12\right)=-\frac12-b<0$을 만족하면 된다. 따라서 $\displaystyle b>-\frac12$이다.