의예과 1번

접점을 $\displaystyle \mathrm A(x_1,x_2)$이라 하면, 곡선 $\displaystyle y=x^2+2nx+1$과 곡선 $\displaystyle y=ke^x$가 접하기 위해서는 다음 두 조건을 만족해야한다.$\displaystyle 1)\;x^2+2nx+1=ke^x\qquad2)\;2x+2n=ke^x$이를 연립해서 풀면 $\displaystyle x_1=1-2n$ 또는 $\displaystyle x_1=1$이고 $\displaystyle y=ke^x$에서 $\displaystyle k$는 $\displaystyle 0$보다 작은 상수이므로 $\displaystyle ke^{x_1}$은 음수이다.그러므로 $\displaystyle x=1-2n$이고 $\displaystyle (1-2n)^2+2n(1-2n)+1=2-2n$이므로 점 $\displaystyle \mathrm A$는 $\displaystyle \mathrm A(1-2n,2-2n)$이다.

점 $\displaystyle \mathrm A$에서 그은 접선 $\displaystyle l$과 접선 $\displaystyle l$에 수직인 직선 $\displaystyle m$을 각각 구하면 다음과 같다.$\displaystyle l:y-(2-2n)=(2-2n)(x-1+2n)$$\displaystyle m:y-(2-2n)=-\frac1{2-2n}(x-1+2n)$따라서 점 $\displaystyle \mathrm B,\mathrm C,\mathrm D$는 $\displaystyle \mathrm B(-2n,0),\;\mathrm C(0,-4n^2+4n),\;\mathrm D(4n^2-10n+5,0)$이다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{OBC}$와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABD}$의 넓이 $\displaystyle a_n$과 $\displaystyle b_n$은$\displaystyle a_n=\frac12 2n(4n^2-4n)=4n^3-4n^2$$\displaystyle b_n=\frac12(4n^2-8n+5)(2n-2)=4n^3-12n^2+13n-5$이다.

따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n-b_n}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{(4n^3-4n^2)-(4n^3-12n^2+13n-5)}{n^2}=8$이다.