자연계열 3번

기권자수를 $\displaystyle y$, 무효표수를 $\displaystyle z$, 각 후보가 받은 득표수를 $\displaystyle x_1+1,\cdots,x_k+1$이라고 하자. (각 후보는 최소한 한 표를 받으므로 $\displaystyle x_1,\cdots,x_k$는 음이 아닌 정수이다.) 그러면 투표 결과의 총 경우의 수는 $\displaystyle x_1+\cdots+x_k+y+z=n-k$를 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수와 같다. 이 중, $\displaystyle y=z=0$인 해의 개수는 서로 다른 $\displaystyle k$개에서 중복을 허용하여 $\displaystyle n-k$개를 택하는 조합의 수와 같은데, 이 값이 $\displaystyle b_k$이다. 따라서 $\displaystyle b_k={}_{k}\mathrm{H}_{n-k}={}_{n-1}\mathrm{C}_{n-k}={}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}$이다. 제시문 (ㅂ)의 이항정리에 의하여$\displaystyle \sum_{k=1}^nb_k=\sum_{k=1}^n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}=2^{n-1}$이므로 $\displaystyle A=\frac12$이다.

위의 논의로부터 $\displaystyle a_k$는 서로 다른 $\displaystyle k+2$개에서 중복을 허용하여 $\displaystyle n-k$개를 택하는 조합의 수와 같다. 즉, $\displaystyle a_k={}_{k+2}\mathrm{H}_{n-k}={}_{n+1}\mathrm{C}_{n-k}$이다.

논제 1에서 구한 $\displaystyle b_k$로부터$\displaystyle \frac{b_k}{a_k}=\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}\bigg/\frac{(n+1)!}{(n-k)!(k+1)!}=\frac{k(k+1)}{n(n+1)}$이다. 따라서

$\displaystyle \begin{aligned}B&=\frac1{n(n+1)}\sum_{k=1}^n(k^2+k)=\frac1{n(n+1)}\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}6+\frac{n(n+1)}2\right]\\&=\frac1{n(n+1)}\frac{n(n+1)(n+2)}3=\frac{n+2}3=\frac{27}3=9\end{aligned}$이다. ($\displaystyle n=25$이므로)