생활과학·미디어 3번

이차방정식 $\displaystyle 2x^2+2x-c=0$이 서로 다른 두 실근을 가지려면 $\displaystyle D/4=1+2c>0$이어야 한다.

따라서, 제시문 (ㄱ)에 의해$\displaystyle 2c+\frac1{1+2c}=1+2c+\frac1{1+2c}-1\geq2\sqrt{(1+2c)\left(\frac1{1+2c}\right)}-1=1$이 성립한다. 이 때, 등호가 성립할 조건은 $\displaystyle 1+2c=\frac1{1+2c}$이고 $\displaystyle 1+2c>0$인 $\displaystyle c$의 값은 $\displaystyle c=0$이다. 따라서, $\displaystyle m=0$이다.

① 제시문 (ㄷ)의 삼차방정식 $\displaystyle x^3-3x-2k=2$가 서로 다른 세 실근을 가지기 위해서는 함수 $\displaystyle f(x)=x^3-3x-2k-2$의 (극댓값)$\displaystyle >0$, (극솟값)$\displaystyle <0$이면 된다.$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$은 $\displaystyle x=-1,1$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$이다. 함수의 증감을 조사하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c}x&\cdots&-1&\cdots&1&\cdots\\\hline f^{\prime}(x)&+&0&-&0&+\\\hline f(x)&\nearrow&-2k&\searrow&-2k-4&\nearrow\end{array}$따라서, $\displaystyle x^3-3x-2k=2$가 서로 다른 세 실근을 가지기 위한 $\displaystyle k$의 범위는 $\displaystyle f(-1)=-2k>0,\quad f(1)=-2k-4<0,\quad\text{즉}\quad-2<k<0$이고, 집합 $\displaystyle A$는 $\displaystyle A=\{k\mid-2<k<0\}$이다.

② 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle x^4+22x^2+10\geq8x^3+24x+d$가 성립하기 위해서는$\displaystyle f(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+10$의 최솟값이 $\displaystyle d$보다 크거나 같아야 한다.$\displaystyle y=f(x)$는 $\displaystyle 4$차 함수이고 최고차항의 계수가 양수이므로 두 개의 극솟값 중 작은 값이 함수의 최솟값이 된다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x^3-24x^2+44x-24=4(x-1)(x-2)(x-3)$은 $\displaystyle x=1,2,3$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$이다. 함수의 증감을 조사하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}x&\cdots&1&\cdots&2&\cdots&3&\cdots\\\hline f^{\prime}(x)&-&0&+&0&-&0&+\\\hline f(x)&\searrow&1&\nearrow&2&\searrow&1&\nearrow\end{array}$$\displaystyle y=f(x)$의 두 극솟값이 $\displaystyle 1$로 같으므로 이 함수 $\displaystyle x=1,3$일 때 최솟값 $\displaystyle 1$을 가진다. 따라서, 집합 $\displaystyle B$는 $\displaystyle B=\{d\mid d\leq1\}$이다.

③ 조건 $\displaystyle p$가 조건 $\displaystyle q$의 필요조건이기 위해서는 조건 $\displaystyle q$의 진리집합 $\displaystyle B=\{x\mid x\leq1\}$이 조건 $\displaystyle p$의 진리집합 $\displaystyle A=\{x\mid-2<x<0\}$의 부분집합이어야 한다. 따라서 주어진 명제는 거짓이다.