의예과 4번

좌표공간의 점 $\displaystyle \mathrm A,\mathrm B,\mathrm C,\mathrm D$의 좌표를 구하기 위해 $\displaystyle a-c=r,\;b-d=s$, 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$의 길이를 $\displaystyle e$라고 하면 피타고라스 정리에 의해 다음의 방정식을 얻을 수 있다.$\displaystyle e^2=r^2+s^2\qquad(\text{단, }e,r,s\text{는 자연수}).$$\displaystyle e=1$의 경우 위의 방정식을 만족하는 자연수 $\displaystyle r,s$가 존재하지 않는다. 따라서 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$의 길이 $\displaystyle e$는 $\displaystyle 10,20,25,26$중 하나이다.

1) $\displaystyle e=10$인 경우, $\displaystyle (r,s)=(6,8)$ 혹은 $\displaystyle (8,6)$이다. 하지만 네 개의 수 $\displaystyle 1,20,25,26$에서 임의로 두 개의 수를 선택했을 때 그 차이가 $\displaystyle 8$이 되는 경우가 없다. 따라서 $\displaystyle e\ne10$.2) $\displaystyle e=20$인 경우, $\displaystyle (r,s)=(12,16)$ 혹은 $\displaystyle (16,12)$이다. 하지만 네 개의 수 $\displaystyle 1,10,25,26$에서 임의로 두 개의 수를 선택했을 때 그 차이가 $\displaystyle 12$가 되는 경우가 없다. 따라서 $\displaystyle e\ne20$.Correction. 『2021학년도 가톨릭대학교 착한 논술전형 가이드북』에 따라 $\displaystyle e=20$인 경우의 결론을 $\displaystyle e\ne20$으로 실었다. 『가톨릭대학교 2020학년도 대학별고사 선행학습 영향평가 자체평가보고서』에는 $\displaystyle e\ne15$로 잘못 적혀 있다.3-1) $\displaystyle e=25$인 경우, $\displaystyle (r,s)=(7,24)$ 혹은 $\displaystyle (24,7)$이다. 하지만 네 개의 수 $\displaystyle 1,10,20,26$에서 임의로 두 개의 수를 선택했을 때 그 차이가 $\displaystyle 7$ 혹은 $\displaystyle 24$가 되는 경우가 없다.3-2) $\displaystyle e=25$인 경우, $\displaystyle (r,s)=(15,20)$ 혹은 $\displaystyle (20,15)$이다. 하지만 네 개의 수 $\displaystyle 1,10,20,26$에서 임의로 두 개의 수를 선택했을 때 그 차이가 $\displaystyle 15$ 혹은 $\displaystyle 20$가 되는 경우가 없다. 따라서 3-1)과 3-2)에 의해 $\displaystyle e\ne25$.4) $\displaystyle e=26$인 경우, $\displaystyle (r,s)=(10,24)$ 혹은 $\displaystyle (24,10)$이다. 이 경우에는 네 개의 수 $\displaystyle 1,10,20,25$에서 두 개의 수 $\displaystyle 25$과 $\displaystyle 1$을 선택하면 그 차이가 $\displaystyle 24$, 두 개의 수 $\displaystyle 20$과 $\displaystyle 10$을 선택하면 그 차이가 $\displaystyle 10$가 된다. 제시문 (ㄱ)에서 $\displaystyle b<a$이므로$\displaystyle (a,c,r)=(25,1,24),\;(b,d,s)=(20,10,10)$따라서 좌표공간의 점 $\displaystyle \mathrm A,\mathrm B,\mathrm C,\mathrm D$의 좌표는 다음과 같다.$\displaystyle \mathrm A=(25,0,0),\;\mathrm B=(25,10,0),\;\mathrm C=(1,20,0),\;\mathrm D=(0,20,0)$

점 $\displaystyle \mathrm E$가 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OBC}$의 무게중심이므로 점 $\displaystyle \mathrm E$의 좌표는 다음과 같다.$\displaystyle \mathrm E=\left(\frac{0+25+1}3,\frac{0+10+20}3,\frac{0+0+0}3\right)=\left(\frac{26}3,10,0\right)$

세 점 $\displaystyle \mathrm B,\mathrm C,\mathrm F(0,0,49)$를 지나는 제시문 (ㅁ)에서 주어진 평면 $\displaystyle \alpha$의 방정식을$\displaystyle kx+ly+mz=n$이라 하고 주어진 세 점의 좌표를 대입하면 다음의 세 식을 얻을 수 있다.$\displaystyle 25k+10l=n,\quad k+20l=n,\quad49m=n$$\displaystyle k,l,m$을 $\displaystyle n$으로 나타내면$\displaystyle 49k=n,\quad245l=12n,\quad49m=n$따라서 평면 $\displaystyle \alpha$ 방정식은$\displaystyle 5x+12y+5z=245$이고 평면 $\displaystyle \alpha$와 점 $\displaystyle \mathrm E$ 사이의 거리는 다음과 같다.$\displaystyle \frac{\left|\frac{26\times5+30\times12-245\times3}3\right|}{\sqrt{5^2+12^2+5^2}}=\frac{245}{3\sqrt{194}}$