경영경제계열 3번

▶ 거짓말 탐지기 A가 거짓이라고 판정하였을 때, 실제로 용의자가 거짓말을 하였을 확률 $\displaystyle P(C|F)$:◆ 실제로 용의자가 거짓말을 하였을 때, 거짓말 탐지기 A가 거짓이라고 판정하였을 확률은 $\displaystyle P(F|C)$이다. 거짓말을 하는 사람의 심장 박동수를 확률변수 $\displaystyle X$라 하면, $\displaystyle X$는 정규분포 $\displaystyle N(120,20^2)$을 따르므로 확률변수 $\displaystyle Z=\frac{X-120}{20}$은 표준정규분포 $\displaystyle N(0,1)$을 따른다. 거짓말 탐지기 A는 심장 박동수가 100 이상이면 용의자가 거짓말을 한다고 판정하므로, $\displaystyle P(F|C)$는 확률변수 $\displaystyle X$를 이용하여 $\displaystyle P(X\ge100)$로 계산될 수 있다. 주어진 표준정규분포표를 통해 $\displaystyle P(X\ge100)$은 다음과 같이 계산된다.$\displaystyle \begin{aligned}P(X\ge100)&=P\left(Z\ge\frac{100-120}{20}\right)\\&=P(Z\ge-1)\\&=0.5+P(0\le Z\le1)\\&=0.5+0.34\\&=0.84\end{aligned}$

▶ 거짓말 탐지기 B가 거짓이라고 판정하였을 때, 실제로 용의자가 거짓말을 하였을 확률은 $\displaystyle P(C|G)$이고, 거짓말 탐지기 B의 성능이 거짓말 탐지기 A에 비하여 20% 향상되었으므로 $\displaystyle P(C|G)$은 다음과 같이 계산된다.$\displaystyle \begin{aligned}P(C|G)&=\left(1+\frac{20}{100}\right)\times P(C|F)\\&=\frac65\times\frac79\\&=\frac{14}{15}\end{aligned}$

▶ 용의자가 거짓말을 했을 때 거짓말 탐지기 B가 거짓이라고 판정할 확률 $\displaystyle P(G|C)$을 $\displaystyle p$라고 하자. 거짓말 탐지기 B는 용의자가 거짓말을 했을 때 거짓이라고 판정할 확률과 참말을 했을 때 참이라고 판정할 확률이 같으므로, $\displaystyle P(G|D)=1-p$이다. $\displaystyle P(C|G)$을 $\displaystyle p$를 이용하여 표현하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}P(C|G)&=\frac{P(G\cap C)}{P(G)}\\&=\frac{P(G\cap C)}{P(G\cap C)+P(G\cap D)}\\&=\frac{P(C)P(G|C)}{P(C)P(G|C)+P(D)P(G|D)}\\&=\frac{\frac4{10}\times p}{\frac4{10}\times p+\frac6{10}\times(1-p)}\end{aligned}$