자연계열 3-1번

$\displaystyle u=x^n$(즉, $\displaystyle x=u^{1/n}$)으로 치환을 하면$\displaystyle \int\frac{dx}{x(1+x^n)}=\int\frac1{u^{1/n}(1+u)}\frac1n u^{\frac1n-1}du=\frac1n\int\frac1{u(u+1)}du$

이므로, 적분함수를 다음과 같이 정리하여 적분을 구할 수 있다.$\displaystyle \frac1n\int\frac{du}{u(u+1)}=\frac1n\int\left(\frac1u-\frac1{u+1}\right)du=\frac1n(\ln|u|-\ln|u+1|)=\ln|x|-\frac1n\ln|1+x^n|$

따라서,$\displaystyle \begin{aligned}I_n&=\int_{\frac1{a_n}}^{a_n}\frac{dx}{nx(1+x^n)}=\frac1n\left(\ln\frac{a_n}{1/a_n}-\frac1n\ln\left|\frac{1+(a_n)^n}{1+(1/a_n)^n}\right|\right)\\&=\frac1n\left(\ln(a_n)^2-\frac1n\ln(a_n)^n\right)=\frac{\ln a_n}n=\ln2-\frac{2\ln n}n\end{aligned}$

이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}I_n=\ln2$이다.