자연계열 2-2번

$\displaystyle \mathrm{P}(t,-t)$ $\displaystyle (0\le t\le2)$라 하자. AP와 직선 $\displaystyle x=0$ 사이의 각을 $\displaystyle \alpha$, BP와 직선 $\displaystyle x=2$ 사이의 각을 $\displaystyle \beta$라 하면 $\displaystyle \tan\alpha=\frac{t}{t+1}$, $\displaystyle \tan\beta=\frac{2-t}{t+1}$이다. 덧셈 정리를 이용하여$\displaystyle \tan\theta=\tan(\alpha+\beta)=\frac{2t+2}{2t^2+1}$을 얻고,

$\displaystyle t$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \frac{2(1-4t-2t^2)}{(2t^2+1)^2}$을 구한다. $\displaystyle \tan\theta=\frac{2t+2}{2t^2+1}$는 $\displaystyle t=\frac{\sqrt6}2-1$ $\displaystyle \left(0<\frac{\sqrt6}2-1<2\right)$에서 극대이고 최댓값을 갖는다.

$\displaystyle t=\frac{\sqrt6}2-1$을 $\displaystyle \tan\theta=\frac{2t+2}{2t^2+1}$에 대입하여 최댓값 $\displaystyle \frac{\sqrt6}{6-2\sqrt6}=\frac{2+\sqrt6}2$을 구한다.