자연계열 3-2번

• 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)$의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $\displaystyle g(a)=\alpha$, $\displaystyle g(b)=\beta$에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.Caution. 치환적분에서는 치환함수의 전체 치역에서 연속 조건이 성립하는지 확인해야 한다: 제시문의 치환적분 공식을 적용하려면 함수 $\displaystyle f$가 $\displaystyle g([a,b])$ 전체에서 연속이어야 한다. $\displaystyle g(x)$가 두 끝값 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ 사이를 벗어날 수도 있으므로, 두 끝값 사이에서의 연속성만으로는 충분하지 않다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \int_a^bf(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_\alpha^\beta f(t)dt$

• 양의 실수 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$에 대하여 $\displaystyle \ln(xy)=\ln x+\ln y$가 성립한다.

• 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 다음 식이 성립한다.(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2$ (2) $\displaystyle \sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$

• $\displaystyle a$에 가까운 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)\le h(x)\le g(x)$이고 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=L$이면 $\displaystyle \lim_{x\to a}h(x)=L$이다. (단, $\displaystyle L$은 실수이다.)