자연계열 3-2번

▶ 0에 가까운 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여, $\displaystyle |f(x)+1|\le x^2$이므로 $\displaystyle |f(x)+1|\le|x|^2$이고 $\displaystyle \left|\frac{f(x)+1}x\right|\le|x|$을 만족한다. 따라서 $\displaystyle -|x|\le\frac{f(x)+1}x\le|x|$이고$\displaystyle \lim_{x\to0}-|x|=\lim_{x\to0}|x|=0$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)+1}x=0$이다.

▶ 자연수 $\displaystyle k$에 대해서$\displaystyle \frac{f(k+h)-f(k)}h=\frac{f(k)+f(h)+kh(k+h+1)+1-f(k)}h=\frac{f(h)+1}h+k^2+kh+k$이므로$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(k+h)-f(k)}h=\lim_{h\to0}\frac{f(h)+1}h+k^2+kh+k=k^2+k=f^{\prime}(k)$

▶ $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}f^{\prime}(k)=\sum_{k=1}^{10}k^2+\sum_{k=1}^{10}k=\frac{10\cdot11\cdot21}6+\left(\frac{10\cdot11}2\right)=440$