자연계열 2-1번

삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 함수 $\displaystyle f(x)$를 미분한 후, 식을 다음과 같이 정리한다.$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=1-3\cos x+(2\sin x\cos x)^{\prime}=1-3\cos x+2(\cos^2x-\sin^2x)\\&=4\cos^2x-3\cos x-1=(\cos x-1)(4\cos x+1)\end{aligned}$

여기서 $\displaystyle x=0,x_1,x_2,2\pi$일 때, $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$을 만족하므로 ($\displaystyle \cos x_1=\cos x_2=-\frac14$이고 $\displaystyle x_1<x_2$라 한다.) $\displaystyle f(x)$의 최댓값은 $\displaystyle f(0)=0$, $\displaystyle f(x_1)=x_1-\frac78\sqrt{15}$, $\displaystyle f(x_2)=x_2+\frac78\sqrt{15}$, $\displaystyle f(2\pi)=2\pi$ 중 가장 큰 수이다. $\displaystyle \cos x$ 함수의 그래프로부터 적어도 $\displaystyle x_2>\frac{5\pi}4$를 만족함을 알 수 있는데, 이를 이용하여 $\displaystyle f(x_2)$와 $\displaystyle f(2\pi)$를 비교하면 $\displaystyle a=x_2$임을 알 수 있다. 따라서 정답은 $\displaystyle \sin a=-\frac{\sqrt{15}}4$이다.