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자연계열 2-1번

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중앙대 2024학년도 모의 자연계열 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2024mo/jayeon_2

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문제

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

• 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능하고 x=a\displaystyle x=a에서 극값을 가지면 f′(a)=0\displaystyle f^{\prime}(a)=0이다.

• 모든 실수 α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta에 대하여 sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta가 성립한다.

• 탄젠트 함수의 덧셈정리는 다음과 같다.tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡βtan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\qquad\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

[문제 2-1] 닫힌구간 [0,2π]\displaystyle [0,2\pi]에서 정의된 함수 f(x)=x−3sin⁡x+sin⁡(2x)\displaystyle f(x)=x-3\sin x+\sin(2x)가 x=a\displaystyle x=a에서 최댓값을 가질 때, sin⁡a\displaystyle \sin a의 값을 구하시오. [10점]

해설강의 준비중

중앙대 2024학년도 모의 자연계열 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2024mo/jayeon_2

+2점 · f′(x)=1−3cos⁡x+2cos⁡(2x)\displaystyle f^{\prime}(x)=1-3\cos x+2\cos(2x)를 구하고, 이를 이용하여 극값을 구하는 시도를 하면
+4점 · 삼각함수의 성질을 이용하여 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)를 정리한 후, cos⁡x=1,−14\displaystyle \cos x=1,-\frac14일 때 f(x)\displaystyle f(x)가 극값을 가진다는 것을 보이면

Comment. cos⁡x=1\displaystyle \cos x=1인 지점은 구간의 양 끝점이다. 구간 안에서 극값을 갖는 지점은 cos⁡x=−14\displaystyle \cos x=-\frac14인 두 지점이며, 최댓값을 구할 때는 양 끝점의 함수값도 함께 비교한다.

삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 함수 f(x)\displaystyle f(x)를 미분한 후, 식을 다음과 같이 정리한다.f′(x)=1−3cos⁡x+(2sin⁡xcos⁡x)′=1−3cos⁡x+2(cos⁡2x−sin⁡2x)=4cos⁡2x−3cos⁡x−1=(cos⁡x−1)(4cos⁡x+1)\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=1-3\cos x+(2\sin x\cos x)^{\prime}=1-3\cos x+2(\cos^2x-\sin^2x)\\&=4\cos^2x-3\cos x-1=(\cos x-1)(4\cos x+1)\end{aligned}

+4점 · f(x2)\displaystyle f(x_2)와 f(2π)\displaystyle f(2\pi)를 비교하여 정답을 구하면

여기서 x=0,x1,x2,2π\displaystyle x=0,x_1,x_2,2\pi일 때, f′(x)=0\displaystyle f^{\prime}(x)=0을 만족하므로 (cos⁡x1=cos⁡x2=−14\displaystyle \cos x_1=\cos x_2=-\frac14이고 x1<x2\displaystyle x_1<x_2라 한다.) f(x)\displaystyle f(x)의 최댓값은 f(0)=0\displaystyle f(0)=0, f(x1)=x1−7815\displaystyle f(x_1)=x_1-\frac78\sqrt{15}, f(x2)=x2+7815\displaystyle f(x_2)=x_2+\frac78\sqrt{15}, f(2π)=2π\displaystyle f(2\pi)=2\pi 중 가장 큰 수이다. cos⁡x\displaystyle \cos x 함수의 그래프로부터 적어도 x2>5π4\displaystyle x_2>\frac{5\pi}4를 만족함을 알 수 있는데, 이를 이용하여 f(x2)\displaystyle f(x_2)와 f(2π)\displaystyle f(2\pi)를 비교하면 a=x2\displaystyle a=x_2임을 알 수 있다. 따라서 정답은 sin⁡a=−154\displaystyle \sin a=-\frac{\sqrt{15}}4이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 1~2점의 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 –0.5~+0.5점을 부여할 수 있습니다.

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