자연계열 4-2번

정팔각형의 한 변의 길이를 $\displaystyle d$라 하고 정팔각형을 포함하는 정사각형 PQRS를 아래의 그림과 같이 잡으면, 정팔각형의 넓이는 정사각형의 넓이에서 네 개의 직각이등변삼각형의 넓이를 빼면 되므로 $\displaystyle 2(1+\sqrt2)d^2$이다.

$\displaystyle \vec a=\overrightarrow{\mathrm{DE}},\vec b=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$라 하면,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CA}}=\frac{\sqrt2}2\vec a+\left(1+\frac{\sqrt2}2\right)\vec b$이고 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\left(1+\frac{\sqrt2}2\right)\vec a-\left(1+\frac{\sqrt2}2\right)\vec b$이다. $\displaystyle \vec a\cdot\vec b=0$이므로$\displaystyle 4=|\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{BE}}|^2=|-\vec a+(2+\sqrt2)\vec b|^2=|\vec a|^2+(2+\sqrt2)^2|\vec b|^2=(7+4\sqrt2)d^2$

따라서 정팔각형의 넓이 $\displaystyle A$는$\displaystyle A=2(1+\sqrt2)\cdot\frac4{7+4\sqrt2}=\frac{8(3\sqrt2-1)}{17}$