자연계열 4-2번

중앙대 2024학년도 모의 자연계열 4-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2024mo/jayeon_7

[문제 4] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

• 중심이 점 $\displaystyle (a,b,c)$ 이고 반지름이 $\displaystyle r$ 인 구의 방정식은 $\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$ 이고 그 부피는 $\displaystyle \frac43\pi r^3$ 이다. 밑면의 반지름이 $\displaystyle s$ 이고 높이가 $\displaystyle h$ 인 원뿔의 부피는 $\displaystyle \frac13\pi s^2h$ 이다.

• 벡터 $\displaystyle \vec a$ 의 크기는 $\displaystyle |\vec a|$ 로 나타내고 $\displaystyle |\vec a|^2=\vec a\cdot\vec a$ 를 만족한다.

• 영벡터가 아닌 두 벡터 $\displaystyle \vec b$ , $\displaystyle \vec c$ 가 수직일 조건은 $\displaystyle \vec b\cdot\vec c=0$ 이다.

[문제 4-2] 정팔각형 ABCDEFGH에서 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{BE}}|=2$ 일 때, 이 정팔각형의 넓이를 구하시오. [15점]

해설강의 준비중

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+5점 · 정팔각형 ABCDEFGH의 넓이를 정팔각형의 한 변의 길이

\displaystyle d

로 표현하면

정팔각형의 한 변의 길이를 $\displaystyle d$ 라 하고 정팔각형을 포함하는 정사각형 PQRS를 아래의 그림과 같이 잡으면, 정팔각형의 넓이는 정사각형의 넓이에서 네 개의 직각이등변삼각형의 넓이를 빼면 되므로 $\displaystyle 2(1+\sqrt2)d^2$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle 4=(7+4\sqrt2)d^2

를 얻으면

$\displaystyle \vec a=\overrightarrow{\mathrm{DE}},\vec b=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ 라 하면, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CA}}=\frac{\sqrt2}2\vec a+\left(1+\frac{\sqrt2}2\right)\vec b$ 이고 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\left(1+\frac{\sqrt2}2\right)\vec a-\left(1+\frac{\sqrt2}2\right)\vec b$ 이다. $\displaystyle \vec a\cdot\vec b=0$ 이므로 $\displaystyle 4=|\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{BE}}|^2=|-\vec a+(2+\sqrt2)\vec b|^2=|\vec a|^2+(2+\sqrt2)^2|\vec b|^2=(7+4\sqrt2)d^2$

+5점 · 정팔각형 ABCDEFGH의 넓이를 구하면

따라서 정팔각형의 넓이 $\displaystyle A$ 는 $\displaystyle A=2(1+\sqrt2)\cdot\frac4{7+4\sqrt2}=\frac{8(3\sqrt2-1)}{17}$

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 1~2점의 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 –0.5~+0.5점을 부여할 수 있습니다.

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