중앙대 2024학년도 모의 자연계열 4-1번 해설

[문제 4] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

• 중심이 점 $\displaystyle (a,b,c)$ 이고 반지름이 $\displaystyle r$ 인 구의 방정식은 $\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$ 이고 그 부피는 $\displaystyle \frac43\pi r^3$ 이다. 밑면의 반지름이 $\displaystyle s$ 이고 높이가 $\displaystyle h$ 인 원뿔의 부피는 $\displaystyle \frac13\pi s^2h$ 이다.

• 벡터 $\displaystyle \vec a$ 의 크기는 $\displaystyle |\vec a|$ 로 나타내고 $\displaystyle |\vec a|^2=\vec a\cdot\vec a$ 를 만족한다.

• 영벡터가 아닌 두 벡터 $\displaystyle \vec b$ , $\displaystyle \vec c$ 가 수직일 조건은 $\displaystyle \vec b\cdot\vec c=0$ 이다.

[문제 4-1] 다음 그림과 같이 $\displaystyle xy$ 평면에 넓이가 $\displaystyle A$ 인 밑면을 가지고 양의 $\displaystyle z$ 축에 꼭짓점을 가지는 원뿔이 방정식 $\displaystyle x^2+y^2+(z-1)^2=1$ 로 정의된 구 $\displaystyle S$ 에 외접한다. 점 $\displaystyle (0,0,2)$ 를 지나고 $\displaystyle xy$ 평면에 평행한 평면으로 이 원뿔을 잘라 얻은 원뿔대의 부피가 구 $\displaystyle S$ 의 부피의 3배이고 잘린 단면의 넓이를 $\displaystyle B$ 라 할 때, $\displaystyle \frac AB$ 를 구하시오. [15점]

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아래의 그림과 같이 원뿔과 구를 $\displaystyle yz$ -평면으로 잘라 얻은 단면에 7개의 점 P,Q,R,S,T,U,V를 잡고 $\displaystyle a=\overline{\mathrm{ST}},b=\overline{\mathrm{QV}}$ 라 하자.

+5점 · 닮음 상수

\displaystyle k

를 이용하여

\displaystyle a=\overline{\mathrm{ST}},b=\overline{\mathrm{QV}}

를 표현하면

두 직각삼각형 PST와 PQV의 닮음비가 $\displaystyle a:b$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PT}}=ak,\overline{\mathrm{PV}}=bk$ 라고 놓을 수 있다. 원의 반지름이 1이므로 $\displaystyle ak=bk+2$ 이다. 두 직각삼각형 PQV와 PUR이 닮은 것을 이용하여 비례식 $\displaystyle b\sqrt{1+k^2}:b=bk+1:1$ 으로부터 $\displaystyle b=\frac{\sqrt{1+k^2}-1}k$ 를 얻는다. $\displaystyle ak=bk+2$ 이므로 $\displaystyle a=\frac{\sqrt{1+k^2}+1}k$ 이다.

+5점 · 닮음 상수

\displaystyle k

를 이용하여 원뿔대의 부피를 표현하면

$\displaystyle a+b=\frac{2\sqrt{1+k^2}}k,ab=1$ 이므로 원뿔대의 부피 $\displaystyle V$ 는 $\displaystyle V=\frac13\pi(a^3-b^3)k=\frac13\pi(ak-bk)((a+b)^2-ab)=\frac{2\pi}3((a+b)^2-ab)=\frac{2\pi}3\left(\frac{4(1+k^2)}{k^2}-1\right)$

+5점 ·

\displaystyle \frac AB

의 값

\displaystyle \frac{5+\sqrt{21}}{5-\sqrt{21}}=\frac{23+5\sqrt{21}}2

을 얻으면

$\displaystyle V$ 가 구의 부피 $\displaystyle \frac{4\pi}3$ 의 3배이므로 $\displaystyle V=\frac{2\pi}3\left(\frac{4(1+k^2)}{k^2}-1\right)=4\pi$ 에서 $\displaystyle k^2=\frac43$ 를 얻는다. $\displaystyle \therefore\frac AB=\frac{\pi a^2}{\pi b^2}=\frac{a^2}{b^2}=\left(\frac{\sqrt{1+k^2}+1}{\sqrt{1+k^2}-1}\right)^2=\frac{5+\sqrt{21}}{5-\sqrt{21}}=\frac{23+5\sqrt{21}}2$

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 1~2점의 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 –0.5~+0.5점을 부여할 수 있습니다.

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자연계열 4-1번

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