자연계열 4-1번

두 직각삼각형 PST와 PQV의 닮음비가 $\displaystyle a:b$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PT}}=ak,\overline{\mathrm{PV}}=bk$라고 놓을 수 있다. 원의 반지름이 1이므로 $\displaystyle ak=bk+2$이다. 두 직각삼각형 PQV와 PUR이 닮은 것을 이용하여 비례식 $\displaystyle b\sqrt{1+k^2}:b=bk+1:1$으로부터 $\displaystyle b=\frac{\sqrt{1+k^2}-1}k$를 얻는다. $\displaystyle ak=bk+2$이므로 $\displaystyle a=\frac{\sqrt{1+k^2}+1}k$이다.

$\displaystyle a+b=\frac{2\sqrt{1+k^2}}k,ab=1$이므로 원뿔대의 부피 $\displaystyle V$는$\displaystyle V=\frac13\pi(a^3-b^3)k=\frac13\pi(ak-bk)((a+b)^2-ab)=\frac{2\pi}3((a+b)^2-ab)=\frac{2\pi}3\left(\frac{4(1+k^2)}{k^2}-1\right)$

$\displaystyle V$가 구의 부피 $\displaystyle \frac{4\pi}3$의 3배이므로 $\displaystyle V=\frac{2\pi}3\left(\frac{4(1+k^2)}{k^2}-1\right)=4\pi$에서 $\displaystyle k^2=\frac43$를 얻는다.$\displaystyle \therefore\frac AB=\frac{\pi a^2}{\pi b^2}=\frac{a^2}{b^2}=\left(\frac{\sqrt{1+k^2}+1}{\sqrt{1+k^2}-1}\right)^2=\frac{5+\sqrt{21}}{5-\sqrt{21}}=\frac{23+5\sqrt{21}}2$