자연계열 1번

주머니에서 검은 공 $\displaystyle 1$개를 꺼낼 확률은 $\displaystyle \frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, 흰 공 $\displaystyle 1$개를 꺼낼 확률은 $\displaystyle \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$이다. 이와 같은 상황에서 주어진 시행을 $\displaystyle 4$번 반복할 때, 검은 공이 나오는 횟수를 $\displaystyle m$, 흰 공이 나오는 횟수를 $\displaystyle n$이라 하자. 이때, $\displaystyle m+n=4$를 만족하고, 검은 공이 $\displaystyle m$번과 흰 공이 $\displaystyle n$번 나오는 확률은 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{m}\left(\frac{2}{3}\right)^{m}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}$이다.

이동한 점 P의 $\displaystyle x$좌표와 $\displaystyle y$좌표를 구하면 다음과 같다.

[방법 1] $\displaystyle 4$번의 시행에서 검은 공이 $\displaystyle m$번, 흰 공이 $\displaystyle n$번 나왔을 때, 이동한 점 P의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle a_{m}$, $\displaystyle y$좌표를 $\displaystyle b_{n}$이라 하면, 수열의 귀납적 정의를 통해 각 수열은 다음과 같이 표현된다.$\displaystyle a_{0}=0,\ a_{m+1}=2a_{m}+2,\ m=0,1,2,3,4$$\displaystyle b_{0}=0,\ b_{n+1}=3b_{n}-3,\ n=0,1,2,3,4$

따라서, 점 P의 $\displaystyle x$좌표와 $\displaystyle y$좌표의 합을 확률변수 $\displaystyle X$라고 정의하면, $\displaystyle X$의 확률분포는 다음 표와 같다.

확률변수 $\displaystyle X$의 기댓값은 $\displaystyle -120\times\frac{1}{81}-37\times\frac{8}{81}-6\times\frac{24}{81}+11\times\frac{32}{81}+30\times\frac{16}{81}=\frac{272}{81}$이다.