심화 포락선 정리

$\displaystyle t>0$에서 두 곡선 $\displaystyle y=t^3\ln(x-t)$, $\displaystyle y=2e^{x-a}$의 교점이 하나가 되게 하는 $\displaystyle a$를 $\displaystyle f(t)$로 정한다. $\displaystyle \{f^{\prime}(1/3)\}^2$을 계산하여라.

교점의 높이는 양수이므로 $\displaystyle x-t>1$이다. 교점 조건을 $\displaystyle a$에 대하여 정리하면$\displaystyle a=A(x,t)=x+\ln2-3\ln t-\ln(\ln(x-t))$이다. $\displaystyle s=x-t>1$로 놓으면$\displaystyle A_x=1-\frac1{s\ln s}$이다. $\displaystyle s\ln s$는 0에서 $\displaystyle \infty$까지 엄격히 증가하므로 $\displaystyle s\ln s=1$인 $\displaystyle s=c$가 유일하다.따라서 $\displaystyle A$는 $\displaystyle x=t+c$까지 감소하고 그 뒤 증가하며, 정의역의 양 끝에서 $\displaystyle \infty$로 간다.교점이 하나인 경우는 정확히 $\displaystyle a=\min_x A(x,t)$일 때이다.

최적점 $\displaystyle u(t)=t+c$에서 $\displaystyle (u-t)\ln(u-t)=1$이므로$\displaystyle f^{\prime}(t)=A_t(u(t),t)=-\frac3t+\frac1{(u-t)\ln(u-t)}=1-\frac3t$이다. 따라서$\displaystyle \{f^{\prime}(1/3)\}^2=(-8)^2=64$이다.

곡선 $\displaystyle y=e^{-x}+e^t$에 원점에서 그은 접선의 기울기를 $\displaystyle f(t)$로 정한다. $\displaystyle f(a)=-e\sqrt e$인 $\displaystyle a$에서 $\displaystyle f^{\prime}(a)$를 계산하여라.

• ① $\displaystyle -\frac13e\sqrt e$
• ② $\displaystyle -\frac12e\sqrt e$
• ③ $\displaystyle -\frac23e\sqrt e$
• ④ $\displaystyle -\frac56e\sqrt e$
• ⑤ $\displaystyle -e\sqrt e$

접점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle u$라 하면 접선이 원점을 지나므로$\displaystyle -ue^{-u}=e^{-u}+e^t,\qquad e^t=-(u+1)e^{-u}$이다. 따라서 $\displaystyle u<-1$이다. $\displaystyle -(u+1)e^{-u}$는 $\displaystyle u<-1$에서 도함수가 $\displaystyle ue^{-u}<0$이고,양 끝에서의 극한이 각각 $\displaystyle \infty$, 0이므로 접점은 유일하며 $\displaystyle t$에 따라 미분가능하게 움직인다.

$\displaystyle M(x,t)=(e^{-x}+e^t)/x$라 하면 접점에서 $\displaystyle M_x=0$이다.따라서$\displaystyle f(t)=-e^{-u(t)},\qquad f^{\prime}(t)=\frac{e^t}{u(t)}$이다. 주어진 기울기에서 $\displaystyle u(a)=-\frac32$이고, 접선 조건에서 $\displaystyle e^a=\frac12e^{3/2}$이다.그러므로$\displaystyle f^{\prime}(a)=\frac{e^{3/2}/2}{-3/2}=-\frac13e\sqrt e$이므로 정답은 ①이다.

양수 $\displaystyle t$마다 다음 함수를 생각하자.$\displaystyle f(x)=\begin{cases}\ln x&(1\le x<e),\\\ln x-t&(x\ge e).\end{cases}$

일차함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle 1\le x<e$에서 $\displaystyle g(x)\le f(x)$, $\displaystyle x\ge e$에서 $\displaystyle g(x)\ge f(x)$를 만족한다. 가능한 $\displaystyle g$의 기울기 중 최솟값이 $\displaystyle h(t)$이다. 미분가능한 $\displaystyle h$에 대하여 $\displaystyle h(a)=1/(e+2)$일 때, $\displaystyle h^{\prime}(1/(2e))h^{\prime}(a)$를 계산하여라.

$\displaystyle g(x)=m(x-1)+b$라 하면 $\displaystyle b=g(1)\le0$이다. $\displaystyle x\ge e$에서의 조건으로부터$\displaystyle m\ge\frac{\ln x-t-b}{x-1}\ge\frac{\ln x-t}{x-1}$이다. 따라서 $\displaystyle H=\max_{x\ge e}(\ln x-t)/(x-1)$보다 작은 기울기는 불가능하다.

실제로 $\displaystyle m=H$, $\displaystyle b=0$을 택할 수 있다. $\displaystyle H>0$이고,$\displaystyle x\ge e$에서 $\displaystyle \ln x/(x-1)\le1/(e-1)$이므로 $\displaystyle H\le1/(e-1)$이다.또 $\displaystyle 1<x<e$에서 $\displaystyle \ln x/(x-1)\ge1/(e-1)$이므로 $\displaystyle H(x-1)\le\ln x$이다.따라서 왼쪽 조건도 만족하며$\displaystyle h(t)=\max_{x\ge e}F(x,t),\qquad F(x,t)=\frac{\ln x-t}{x-1}$이다.

$\displaystyle F_x$의 부호는 $\displaystyle N(x)=1-1/x-\ln x+t$의 부호와 같다.$\displaystyle N^{\prime}(x)=-(x-1)/x^2<0$, $\displaystyle N(e)=t-1/e$이다.(i) $\displaystyle 0<t\le1/e$이면 끝점 $\displaystyle x=e$에서 최대이므로$\displaystyle h(t)=\frac{1-t}{e-1},\qquad h^{\prime}(t)=-\frac1{e-1}\quad(0<t<1/e)$이다.(ii) $\displaystyle t>1/e$이면 $\displaystyle N(u)=0$인 유일한 $\displaystyle u>e$에서 최대이고$\displaystyle t=\ln u-1+\frac1u,\qquad h(t)=\frac1u,\qquad h^{\prime}(t)=-\frac1{u-1}$이다. $\displaystyle t$를 $\displaystyle u$로 미분한 값 $\displaystyle (u-1)/u^2$이 양수이므로 이 구간에서 $\displaystyle u(t)$는 미분가능하다.

$\displaystyle h(1/e)=1/e$이고 $\displaystyle 1/(e+2)<1/e$이므로 $\displaystyle a>1/e$이다.따라서 $\displaystyle u(a)=e+2$이고$\displaystyle h^{\prime}(1/(2e))h^{\prime}(a)=\left(-\frac1{e-1}\right)\left(-\frac1{e+1}\right)=\frac1{e^2-1}$이다. 경계 $\displaystyle t=1/e$에서는 두 식의 함수값과 좌우 미분계수가 일치한다.

$\displaystyle a$를 실수라 하고$\displaystyle f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln(-x)}x&(x<0),\\-x^2+2x+a&(x\ge0)\end{cases}$로 정한다. $\displaystyle 0<t<2$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=t$인 음수 해를 $\displaystyle g(t)$라 하자.

$\displaystyle k\ge a$인 모든 높이 $\displaystyle k$에서 직선 $\displaystyle y=tx+k$가 $\displaystyle y=f(x)$와 정확히 두 교점을 갖도록 $\displaystyle a=h(t)$를 정한다. $\displaystyle g(1)+h^{\prime}(1)$을 계산하여라. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\ln x/x=0$을 이용해도 좋다.

• ① $\displaystyle \frac13$
• ② $\displaystyle \frac12$
• ③ $\displaystyle \frac23$
• ④ $\displaystyle \frac56$
• ⑤ $\displaystyle 1$

음수 쪽에서 $\displaystyle q(x)=\ln(-x)/x$라 놓고 $\displaystyle L(x)=q(x)-tx$를 생각하자.$\displaystyle q^{\prime}(x)=(1-\ln(-x))/x^2$는 $\displaystyle x\le-e$에서 0 이하이고,$\displaystyle -e<x<0$에서는 $\displaystyle q^{\prime\prime}(x)=\{2\ln(-x)-3\}/x^3>0$이다.따라서 $\displaystyle L$은 $\displaystyle x=g(t)$까지 감소하고 그 뒤 증가한다.양 끝에서 $\displaystyle L$이 $\displaystyle \infty$로 가므로 최솟값$\displaystyle B(t)=q(g(t))-tg(t)$보다 작은 높이에서는 교점이 0개, 같은 높이에서는 1개, 큰 높이에서는 2개이다.

양수 쪽을 포함한 $\displaystyle x\ge0$에서는$\displaystyle f(x)-tx=-x^2+(2-t)x+a$이고, 꼭짓점 $\displaystyle v=(2-t)/2>0$에서 최댓값$\displaystyle C(t)=a+\frac{(2-t)^2}{4}>a$를 갖는다. $\displaystyle a\le k<C(t)$에서 교점은 2개, $\displaystyle k=C(t)$에서 1개, $\displaystyle k>C(t)$에서 0개이다.모든 $\displaystyle k\ge a$에서 두 쪽의 교점 수 합이 2가 되려면, 또 그러기 위해서는 $\displaystyle B(t)=C(t)$여야 한다.실제로 두 임계 높이가 다르면 그 사이의 $\displaystyle k>a$에서 합이 0개 또는 4개가 된다.

따라서$\displaystyle h(t)=B(t)-\frac{(2-t)^2}{4}$이다. $\displaystyle q^{\prime}(g(t))=t$이고 그 점에서 $\displaystyle q^{\prime\prime}>0$이므로 $\displaystyle g$는 미분가능하다.절편의 미분 공식으로 $\displaystyle B^{\prime}(t)=-g(t)$이므로$\displaystyle h^{\prime}(t)=-g(t)+\frac{2-t}{2}$이다. 그러므로$\displaystyle g(1)+h^{\prime}(1)=\frac12$이므로 정답은 ②이다.