자연계열 1번

1. 동전을 $\displaystyle x$번 던질 때 처음으로 같은 면이 두 번 연속으로 나오는 사건을 $\displaystyle A_x$라고 하자. 동전을 한 번 던질 경우 같은 면이 연속으로 두 번 나오게 되는 사건은 불가능하다. 즉 동전을 $\displaystyle 1$번 던질 때 같은 면이 두 번 연속으로 나오는 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(A_1)=0$이다. 동전을 두 번 던질 경우, $\displaystyle 4$가지의 결과 중 $\displaystyle 2$가지, (앞면, 앞면), (뒷면, 뒷면)과 같이 동전의 같은 면을 두 번 연속으로 얻을 수 있다. 따라서 사건 $\displaystyle A_2$가 일어날 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(A_2)=2/4=1/2=0.5^{2-1}$이 된다.유사하게, 우리가 전 단계에서 멈추지 않고 동전을 계속 던진 경우에는 정확하게 결과들의 절반만큼 같은 면이 두 번 연속으로 나오는 것을 알 수 있다. 즉, 다음이 성립한다.$\displaystyle \mathrm{P}(A_3)=\mathrm{P}(A_2)/2=0.5^{3-1}$$\displaystyle \mathrm{P}(A_4)=\mathrm{P}(A_3)/2=0.5^{4-1}$$\displaystyle \vdots$$\displaystyle \mathrm{P}(A_x)=\mathrm{P}(A_{x-1})/2=0.5^{x-1}$, ($\displaystyle x=2,3,4\cdots,2022$)Caution. 범위의 끝값을 포함하거나 제외할 때는 문제의 조건을 확인해야 한다: $\displaystyle P(A_1)=0$, $\displaystyle P(A_2)=\frac12$이므로, 점화식 $\displaystyle P(A_x)=P(A_{x-1})/2$에 끝값 $\displaystyle x=2$를 대입하면 양변이 같지 않다. 따라서 이 점화식은 $\displaystyle x=3,4,\ldots,2022$에서 적용해야 한다. 다만 일반항 $\displaystyle P(A_x)=0.5^{x-1}$은 $\displaystyle x=2$에서도 성립하므로, 합의 시작값과 최종 답 $\displaystyle 1-0.5^{2021}$은 달라지지 않는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서 동전을 던진 횟수가 $\displaystyle 2022$ 이하일 확률은 $\displaystyle \sum_{x=2}^{2022}\mathrm{P}(A_x)=\sum_{x=2}^{2022}0.5^{x-1}$이 되고 이는 첫째항이 $\displaystyle 0.5$, 공비가 $\displaystyle 0.5$인 등비수열을 첫째항부터 제 $\displaystyle 2021$항까지 더한 것과 같다. 따라서 등비수열의 합은 $\displaystyle \frac{0.5(1-0.5^{2021})}{1-0.5}=1-0.5^{2021}$이 된다.

2. 선분 AB의 중점을 O라 하자. 부채꼴 OPQ의 중심각을 $\displaystyle t$ ($\displaystyle 0<t<\pi$)라 하면,$\displaystyle x=\overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{1^2+1^2-2\times1\times1\times\cos t}=\sqrt{2}\sqrt{1-\cos t}$,$\displaystyle y=f(x)=\frac{1}{2}\times1^2\times t-\frac{1}{2}\times1^2\times\sin t=\frac{1}{2}(t-\sin t)$이다.

$\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$일 때 $\displaystyle x=1$이므로 $\displaystyle x=1$에서의 $\displaystyle f(x)$의 미분계수 $\displaystyle f^{\prime}(1)$은 $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$일 때 $\displaystyle \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$의 값이다.$\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{1-\cos t}{2}$, $\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{\sin t}{\sqrt{2}\sqrt{1-\cos t}}$이므로, $\displaystyle f^{\prime}(1)=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$이다.

3. $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{(x+e)\ln(x+e)}$이고 이를 한 번 더 미분하면$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=-\frac{1+\ln(x+e)}{(x+e)^2(\ln(x+e))^2}$이므로 모든 $\displaystyle x>0$에 대해 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)<0$이다. 즉, $\displaystyle f^{\prime}$은 감소한다.

일반성을 잃지 않고 $\displaystyle a\ge b$라 가정하자. 그러면 평균값 정리에 의해 $\displaystyle \frac{f(a+b)-f(a)}{b}=f^{\prime}(z)$인 $\displaystyle z$가 열린 구간 $\displaystyle (a,a+b)$에서 항상 존재하고, $\displaystyle \frac{f(b)}{b}=\frac{f(b)-f(0)}{b-0}=f^{\prime}(w)$인 $\displaystyle w$가 열린 구간 $\displaystyle (0,b)$에서 항상 존재한다.

그런데 $\displaystyle 0<w<b\le a<z<a+b$이므로 $\displaystyle w<z$, 따라서 $\displaystyle f^{\prime}(w)>f^{\prime}(z)$임을 알 수 있다. 이를 정리하면 $\displaystyle f(a+b)<f(a)+f(b)$를 얻는다.