자연계열 2번

1. 주어진 쌍곡선을 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$으로 표현하면 $\displaystyle a^2=\frac{5}{2}$, $\displaystyle b^2=\frac{27}{2}$.따라서 초점 F의 $\displaystyle x$좌표를 양수 $\displaystyle c$라 하면 $\displaystyle c=\sqrt{a^2+b^2}=4$또한 $\displaystyle p=\overline{\mathrm{AF}}$, $\displaystyle q=\overline{\mathrm{AF}^{\prime}}$라 하면, 쌍곡선의 정의와 코사인 법칙에 의하여$\displaystyle q-p=2a=\sqrt{10}$, $\displaystyle \cos(\angle\mathrm{F}^{\prime}\mathrm{AF})=\frac{7}{25}=\frac{p^2+q^2-8^2}{2pq}$즉, $\displaystyle q=p+\sqrt{10}$이고 $\displaystyle 14pq=25(p^2+q^2-64)$첫 번째 식을 두 번째 식에 대입하면 $\displaystyle 14p^2+14\sqrt{10}p=25(2p^2+2\sqrt{10}p-54)$정리하면 $\displaystyle 2p^2+2\sqrt{10}p-75=0$그러므로 $\displaystyle p=\frac{3}{2}\sqrt{10}$이고 $\displaystyle q=\frac{5}{2}\sqrt{10}$점 A의 좌표를 $\displaystyle (x_0,y_0)$이라고 하면$\displaystyle \overline{\mathrm{AF}^{\prime}}^2=\frac{125}{2}=(x_0+4)^2+y_0^2$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AF}}^2=\frac{45}{2}=(x_0-4)^2+y_0^2$이를 연립하여 풀면 $\displaystyle x_0=\frac{5}{2}$, $\displaystyle y_0=\frac{9}{2}$. 즉, A의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{5}{2},\frac{9}{2}\right)$비슷하게 점 B의 좌표를 구하면 $\displaystyle \left(-\frac{5}{2},-\frac{9}{2}\right)$

2. 점 P의 좌표를 $\displaystyle (t,s)$라 하면 접선의 기울기는 $\displaystyle -\frac{b^2t}{a^2s}$,Caution. 점 P가 $\displaystyle (\pm a,0)$이면 접선이 수직이므로 기울기를 쓸 수 없다. 이때 접선은 $\displaystyle x=\pm a$이고, 직접 확인하면 같은 접선의 식과 $\displaystyle f(t)$의 식이 성립한다.접선의 방정식은 $\displaystyle y-s=-\frac{b^2t}{a^2s}(x-t)$이다.이를 정리하면 $\displaystyle b^2tx+a^2sy=b^2t^2+a^2s^2$이다.$\displaystyle \frac{t^2}{a^2}+\frac{s^2}{b^2}=1$이므로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.$\displaystyle b^2tx+a^2sy-a^2b^2=0$따라서 $\displaystyle f(t)=\left(\frac{a^2b^2}{\sqrt{b^4t^2+a^4s^2}}\right)^2$이다.$\displaystyle s^2=\frac{a^2b^2-b^2t^2}{a^2}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}f(t)&=\frac{a^4b^4}{b^4t^2+a^4\frac{a^2b^2-b^2t^2}{a^2}}=\frac{a^4b^4}{b^4t^2+a^4b^2-a^2b^2t^2}\\&=\frac{a^4b^4}{a^4b^2+b^2(b^2-a^2)t^2}=\frac{a^4b^2}{a^4+(b^2-a^2)t^2}\end{aligned}$이다.$\displaystyle a^2-b^2=c^2$ ($\displaystyle b<a$) 중 양수인 $\displaystyle c$를 선택하면$\displaystyle f(t)=\frac{a^4b^2}{a^4-c^2t^2}=\frac{a^4b^2}{2a^2}\left(\frac{1}{a^2-ct}+\frac{1}{a^2+ct}\right)$이다.$\displaystyle \int\frac{1}{a^2+ct}\,dt=\frac{1}{c}\ln(a^2+ct)+C_1$,$\displaystyle \int\frac{1}{a^2-ct}\,dt=-\frac{1}{c}\ln(a^2-ct)+C_2$ ($\displaystyle C_1$, $\displaystyle C_2$는 상수)이므로,$\displaystyle \int_0^a f(t)\,dt=\frac{a^4b^2}{2a^2}\frac{1}{c}\Biggl[\ln(a^2+ct)-\ln(a^2-ct)\Biggr]_0^a=\frac{a^4b^2}{2a^2c}\ln\frac{a^2+ca}{a^2-ca}\ \cdots\ (\mathrm{A})$$\displaystyle b=\frac{\sqrt{3}}{2}a$이면 $\displaystyle b^2=\frac{3}{4}a^2$, $\displaystyle c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{a^2-\frac{3}{4}a^2}=\frac{a}{2}$이다.따라서 $\displaystyle (\mathrm{A})=\frac{a^2\frac{3}{4}a^2}{2\frac{a}{2}}\ln\frac{a^2+\frac{a^2}{2}}{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{3}{4}a^3\ln3$이므로$\displaystyle \frac{1}{a^3}\int_0^a f(t)\,dt=\frac{3}{4}\ln3$이다.

3. 문제 2번에서 선택한 양수 $\displaystyle c$를 사용하여 $\displaystyle \mathrm{F}_1=(c,0)=(\sqrt{a^2-b^2},0)$,$\displaystyle \mathrm{F}_2=(-c,0)=(-\sqrt{a^2-b^2},0)$이라고 하자. 점 P의 좌표를 $\displaystyle (t,s)$라 하면$\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{PF}_1}^2&=(c-t)^2+s^2\\&=c^2-2ct+t^2+\frac{a^2b^2-b^2t^2}{a^2}\\&=\frac{a^2c^2-2cta^2+a^2t^2+a^2b^2-b^2t^2}{a^2}\\&=\frac{a^2(b^2+c^2)+t^2(a^2-b^2)-2cta^2}{a^2}\\&=\frac{a^4+t^2c^2-2cta^2}{a^2}=\frac{(a^2-tc)^2}{a^2}\end{aligned}$$\displaystyle \overline{\mathrm{PF}_2}^2=\frac{(a^2+tc)^2}{a^2}$이다.따라서 $\displaystyle h(t)=\frac{a^4-t^2c^2}{a^2}$이다.2번에 의해 $\displaystyle f(t)=\frac{a^4b^2}{a^4+(b^2-a^2)t^2}$이다.$\displaystyle \therefore f(t)h(t)=\frac{a^4b^2}{a^4+(b^2-a^2)t^2}\times\frac{a^4-t^2c^2}{a^2}=a^2b^2$