의예과 2번

1. 먼저 $\displaystyle p(0)=1$임과 $\displaystyle x>-\frac{1}{n}$의 범위에서 $\displaystyle p(x)$가 양수임은 쉽게 알 수 있다. 이제 $\displaystyle x=0$을 포함하는 $\displaystyle x>-\frac{1}{n}$의 범위로 $\displaystyle p(x)$의 정의역을 제한하면 아무 문제없이 $\displaystyle \ln p(x)$를 생각할 수 있고, $\displaystyle \ln p(x)=\sum_{k=1}^{n}\ln(1+kx)$를 얻는다.양변을 미분하면$\displaystyle \frac{p^{\prime}(x)}{p(x)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{1+kx}$이므로 $\displaystyle p^{\prime}(0)=\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$를 얻는다.다시 한 번 위 식에서 양변을 미분하면$\displaystyle \frac{p^{\prime\prime}(x)}{p(x)}-\frac{\{p^{\prime}(x)\}^{2}}{\{p(x)\}^{2}}=-\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{2}}{(1+kx)^{2}}$이므로 $\displaystyle p^{\prime\prime}(0)=\{p^{\prime}(0)\}^{2}-\sum_{k=1}^{n}k^{2}$을 얻는다.

따라서$\displaystyle \begin{aligned}p^{\prime\prime}(0)&=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\&=\frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{12}\end{aligned}$답: $\displaystyle \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{12}$

2. $\displaystyle q(x)=e^{x}+x\ln(x+1)+x^{2}\cos^{2022}\pi x$라 하면, 함수 $\displaystyle q(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$을 포함하는 열린구간에서 연속인 도함수 $\displaystyle q^{\prime}(x)$를 갖는다. 제시문 <가>에 의하여 $\displaystyle q^{\prime}(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 최댓값과 최솟값을 갖는다. 이 최댓값을 $\displaystyle M$, 최솟값을 $\displaystyle m$이라고 하면 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서$\displaystyle m\le q^{\prime}(x)\le M$ …… ㉠한편 부분적분법을 적용하면$\displaystyle \begin{aligned}c_{n}&=(n-2022)\int_{0}^{1}x^{n}q(x)\,dx\\&=\frac{n-2022}{n+1}\left(\Biggl[x^{n+1}q(x)\Biggr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}x^{n+1}q^{\prime}(x)\,dx\right)\\&=\frac{n-2022}{n+1}\left(q(1)-\int_{0}^{1}x^{n+1}q^{\prime}(x)\,dx\right)\end{aligned}$

㉠과 제시문 <나>에 의하여$\displaystyle \frac{m}{n+2}=m\int_{0}^{1}x^{n+1}\,dx\le\int_{0}^{1}x^{n+1}q^{\prime}(x)\,dx\le M\int_{0}^{1}x^{n+1}\,dx=\frac{M}{n+2}$따라서$\displaystyle \frac{(n-2022)m}{(n+1)(n+2)}\le\frac{n-2022}{n+1}\int_{0}^{1}x^{n+1}q^{\prime}(x)\,dx\le\frac{(n-2022)M}{(n+1)(n+2)}$Comment. 이 부등식은 $\displaystyle n\ge2022$일 때 성립한다. 극한값을 구할 때는 충분히 큰 $\displaystyle n$만 보면 되므로 계산에는 영향이 없다.이고 제시문 <다>에 의하여$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n-2022}{n+1}\int_{0}^{1}x^{n+1}q^{\prime}(x)\,dx=0$그러므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_{n}=q(1)=e+\ln2+\cos^{2022}\pi=e+\ln2+1$답: $\displaystyle e+\ln2+1$

3. 원 $\displaystyle C$의 방정식 $\displaystyle \left(x-\frac{k^{2}}{4}\right)^{2}+(y-k)^{2}=\left(\frac{k^{2}}{4}+1\right)^{2}$에 $\displaystyle x=\frac{y^{2}}{4}$를 대입하여 정리하면 $\displaystyle y^{4}+2(8-k^{2})y^{2}-32ky+8(k^{2}-2)=0$$\displaystyle r(y)=y^{4}+2(8-k^{2})y^{2}-32ky+8(k^{2}-2)$이라고 하자.

함수 $\displaystyle r(y)$의 도함수를 구하면$\displaystyle r^{\prime}(y)=4y^{3}+4(8-k^{2})y-32k=4(y-k)(y^{2}+ky+8)$ …… ㉡$\displaystyle k$의 값에 따른 방정식 $\displaystyle r(y)=0$의 서로 다른 근의 개수는 다음과 같다.경우 1) $\displaystyle 0\le k<4\sqrt{2}$열린구간 $\displaystyle (-\infty,\infty)$에서 $\displaystyle y^{2}+ky+8>0$이다. 따라서 함수 $\displaystyle r(y)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle r(y)=0$은 서로 다른 두 근을 갖는다.경우 2) $\displaystyle k=4\sqrt{2}$$\displaystyle r^{\prime}(y)=4(y-4\sqrt{2})(y+2\sqrt{2})^{2}$이므로 함수 $\displaystyle r(y)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle r(y)=0$은 서로 다른 두 근을 갖는다.경우 3) $\displaystyle k>4\sqrt{2}$㉡으로부터$\displaystyle r^{\prime}(y)=0$이면 $\displaystyle y=k,\ \frac{1}{2}(-k\pm\sqrt{k^{2}-32})$$\displaystyle c=\frac{1}{2}(-k-\sqrt{k^{2}-32}),\ d=\frac{1}{2}(-k+\sqrt{k^{2}-32})<0$이라 하고, 함수 $\displaystyle r(y)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

또한 ㉡으로부터 $\displaystyle c^{3}=8k-(8-k^{2})c,\ c^{2}+kc+8=0$따라서 제시문 <라>를 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}r(c)&=8kc-(8-k^{2})(kc+8)-32kc+8(k^{2}-2)\\&=k(k^{2}-32)c+16(k^{2}-5)=-2h\left(\frac{k}{\sqrt{2}}\right)\end{aligned}$한편, $\displaystyle r(c)>0$이면, 즉, $\displaystyle h\left(\frac{k}{\sqrt{2}}\right)<0$이면, 방정식 $\displaystyle r(y)=0$은 서로 다른 두 개의 근을 갖고, $\displaystyle r(c)<0$이면, 즉 $\displaystyle h\left(\frac{k}{\sqrt{2}}\right)>0$이면, 방정식 $\displaystyle r(y)=0$은 서로 다른 네 개의 근을 갖는다.제시문 <라>에 의하여 $\displaystyle k<5\sqrt{2}$이면 $\displaystyle r(y)=0$은 서로 다른 두 개의 근을 갖고, $\displaystyle k>5\sqrt{2}$이면 $\displaystyle r(y)=0$은 서로 다른 네 개의 근을 갖는다.원 $\displaystyle C$와 포물선 $\displaystyle y^{2}=4x$의 서로 다른 교점의 개수는 방정식 $\displaystyle r(y)=0$의 서로 다른 근의 개수와 같으므로, 구하는 양수 $\displaystyle k_{0}$는 $\displaystyle 5\sqrt{2}$이다.답: $\displaystyle 5\sqrt{2}$