상경계열 2번

1. 참가자 A에게 $\displaystyle Q_{1}$이 먼저 주어졌을 때 총 상금의 기댓값을 계산하기 위해 다음의 경우를 고려해야 한다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c}&\text{상금}&\text{확률}\\\hline Q_{1}\text{ 오답}&0&1-P_{1}=0.4\\\hline Q_{1}\text{ 정답, }Q_{2}\text{ 오답}&R_{1}&P_{1}(1-P_{2})=0.12\\\hline Q_{1},Q_{2}\text{ 모두 정답}&R_{1}+R_{2}=R_{1}+75&P_{1}P_{2}=0.48\end{array}$그러므로 A의 총 상금의 기댓값은 $\displaystyle R_{1}P_{1}(1-P_{2})+(R_{1}+R_{2})P_{1}P_{2}$를 통해 계산된다.즉, $\displaystyle Q_{1}$이 먼저 주어졌을 때 총 상금의 기댓값은 $\displaystyle 0.12R_{1}+0.48(R_{1}+75)$만원이다.한편, $\displaystyle Q_{2}$가 먼저 주어졌을 경우 총 상금의 기댓값은$\displaystyle R_{2}P_{2}(1-P_{1})+(R_{1}+R_{2})P_{1}P_{2}$를 통해 계산되어 $\displaystyle 24+0.48(R_{1}+75)$만원이 된다.따라서 두 경우 상금의 기댓값이 같아지려면 $\displaystyle 0.12R_{1}=24$가 되어 $\displaystyle R_{1}=200$만원이 되어야 한다.

2. 확률의 덧셈정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{P}(X=Y-1)=\sum_{k=0}^{n-1}\mathrm{P}(X=k,Y=k+1)$이고, $\displaystyle X=k$인 사건과 $\displaystyle Y=k+1$인 사건은 서로 독립이므로$\displaystyle P(X=k,Y=k+1)=P(X=k)P(Y=k+1)$이 성립한다. 따라서$\displaystyle P(X=Y-1)=\sum_{k=0}^{n-1}{}_{n}\mathrm{C}_{k}{}_{n}\mathrm{C}_{k+1}2^{-2n}=2^{-2n}\sum_{k=0}^{n-1}{}_{n}\mathrm{C}_{k}{}_{n}\mathrm{C}_{n-k-1}$이고, 여기서 $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}{}_{n}\mathrm{C}_{k}{}_{n}\mathrm{C}_{n-k-1}$는 $\displaystyle (1+x)^{2n}=(1+x)^{n}(1+x)^{n}$의 전개식에서 $\displaystyle x^{n-1}$의 계수임을 알 수 있다. 그러므로 $\displaystyle P(X=Y-1)=2^{-2n}{}_{2n}\mathrm{C}_{n-1}$이고, 대칭적으로 $\displaystyle P(Y=X-1)$의 값 또한 $\displaystyle 2^{-2n}{}_{2n}\mathrm{C}_{n-1}$이다. $\displaystyle X=Y-1$인 사건과 $\displaystyle Y=X-1$인 사건은 서로 배반이므로, 답은 두 확률의 합인 $\displaystyle 2^{1-2n}{}_{2n}\mathrm{C}_{n-1}$이 된다.

3. 정규분포를 따르는 두 확률변수 $\displaystyle X$와 $\displaystyle Y$의 표준편차가 같으므로 두 확률밀도함수의 그래프는 대칭축의 위치는 다르지만 모양이 같다. 조건 (가)에서 $\displaystyle \mathrm{P}(X\le10)\le\mathrm{P}(Y\ge25)$이므로 $\displaystyle 0.5\le\mathrm{P}(Y\ge25)$임을 알 수 있고 또한 조건 (나)에 의해 $\displaystyle f(15)=g(25)$이므로 $\displaystyle m=25+(15-10)=30$임을 알 수 있다.제품 A $\displaystyle 9$개의 평균 무게를 $\displaystyle \overline{X}$라고 하면 이는 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(10,1^{2})$을 따른다. 마찬가지로 제품 B $\displaystyle 9$개의 평균 무게를 $\displaystyle \overline{Y}$라고 하면 이는 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(30,1^{2})$을 따른다. 한편, $\displaystyle \mathrm{P}(\overline{X}\ge2k)$와 $\displaystyle \mathrm{P}(\overline{Y}\le k)$가 같기 때문에 다음이 성립함을 알 수 있다.$\displaystyle \mathrm{P}(\overline{X}\ge2k)=\mathrm{P}(Z\ge2k-10)=\mathrm{P}(Z\le k-30)=\mathrm{P}(\overline{Y}\le k)$따라서 $\displaystyle 2k-10=-(k-30),\ k=40/3,\ mk=30\times40/3=400$이다.