자연계열 (오후1) 1번

한양대 서울캠퍼스 2022학년도 수시 자연계열 (오후1) 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2022su/jayeon_pm1_1

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

<가> 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$ 인 원 위의 두 점 P, Q를 잇는 한 호 PQ의 길이를 $\displaystyle t$ 라고 할 때, 현 PQ의 길이를 $\displaystyle f(t)$ , 현 PQ와 길이가 $\displaystyle t$ 인 호 PQ로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle g(t)$ 라고 하자.

<나> 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$ 인 원 위에 서로 다른 $\displaystyle n$ 개의 점 $\displaystyle \mathrm{P}_0$ , $\displaystyle \mathrm{P}_1$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle \mathrm{P}_{n-1}$ 이 순서대로 놓여 있고, $\displaystyle \overline{\mathrm{P}_0\mathrm{P}_1}=\overline{\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2}=\cdots=\overline{\mathrm{P}_{n-2}\mathrm{P}_{n-1}}=\overline{\mathrm{P}_{n-1}\mathrm{P}_0}$ 을 만족시킨다.예를 들어, 오른쪽 그림은 $\displaystyle n=6$ 인 경우이다.

1. 제시문 <가>에서 주어진 식 $\displaystyle f(t)$ , $\displaystyle g(t)$ 에 대하여 극한값 $\displaystyle \lim_{t\to0+}\frac{g(t)}{f(t)}$ 를 구하시오.

2. 제시문 <나>에서 주어진 $\displaystyle n$ 개의 점 $\displaystyle \mathrm{P}_0$ , $\displaystyle \mathrm{P}_1$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle \mathrm{P}_{n-1}$ 에 대하여 극한값 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\overline{\mathrm{P}_0\mathrm{P}_1}+\overline{\mathrm{P}_0\mathrm{P}_2}+\cdots+\overline{\mathrm{P}_0\mathrm{P}_{n-1}}}{n}$ 을 구하시오.

3. 제시문 <나>에서 주어진 $\displaystyle n$ 개의 점 $\displaystyle \mathrm{P}_0$ , $\displaystyle \mathrm{P}_1$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle \mathrm{P}_{n-1}$ 에 대하여 호 $\displaystyle \mathrm{P}_0\mathrm{P}_1$ 과 현 $\displaystyle \mathrm{P}_0\mathrm{P}_1$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S_1$ , 호 $\displaystyle \mathrm{P}_0\mathrm{P}_2$ 와 현 $\displaystyle \mathrm{P}_0\mathrm{P}_2$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S_2$ , $\displaystyle \cdots$ , 호 $\displaystyle \mathrm{P}_0\mathrm{P}_{n-1}$ 과 현 $\displaystyle \mathrm{P}_0\mathrm{P}_{n-1}$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S_{n-1}$ 이라 하자. 극한값 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{S_1^2+S_2^2+\cdots+S_{n-1}^2}{n}$ 을 구하시오. (단, $\displaystyle S_1<S_2<\cdots<S_{n-1}$ 이 되도록 호를 선택한다.)

해설강의 준비중

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+20점 · 현 PQ의 길이

\displaystyle f(t)

와 현 PQ와 호 PQ로 둘러싸인 도형의 넓이

\displaystyle g(t)

를 구했는가?

1. 오른쪽 그림에서 원의 중심 O에서 현 PQ에 내린 수선의 발을 H라 하자. $\displaystyle f(t)=2\overline{\mathrm{QH}}=2\sin\frac{t}{2}$ , $\displaystyle g(t)=\frac{1}{2}\times1^2\times t-\frac{1}{2}\times1^2\times\sin t=\frac{1}{2}(t-\sin t)$ 이므로

+10점 · 삼각함수의 극한에 대한 성질을 활용해서

\displaystyle \lim_{t\to0+}\frac{g(t)}{f(t)}

를 구했는가?

$\displaystyle \lim_{t\to0+}\frac{g(t)}{f(t)}=\lim_{t\to0+}\frac{\frac{1}{2}(t-\sin t)}{2\sin\frac{t}{2}}=\lim_{t\to0+}\frac{1}{2}\frac{\frac{t}{2}}{\sin\frac{t}{2}}\left(1-\frac{\sin t}{t}\right)=\frac{1}{2}\times1\times(1-1)=0$

+20점 · 무한급수

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\overline{\mathrm{P}_0\mathrm{P}_1}+\overline{\mathrm{P}_0\mathrm{P}_2}+\cdots+\overline{\mathrm{P}_0\mathrm{P}_{n-1}}}{n}

를 적당한 정적분의 식으로 변환하였는가?

2. $\displaystyle 1$ 번에서 구한 $\displaystyle f(t)$ 에 대하여, $\displaystyle \overline{P_0P_1}=f\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ , $\displaystyle \overline{P_0P_2}=f\left(\frac{2\pi}{n}\cdot2\right)$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle \overline{P_0P_{n-1}}=f\left(\frac{2\pi}{n}\cdot(n-1)\right)$ 이고, $\displaystyle f\left(\frac{2\pi}{n}\cdot n\right)=f(2\pi)=0$ 이므로,

$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac{\overline{P_0P_1}+\cdots+\overline{P_0P_{n-1}}}{n}&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n-1}f\left(\frac{2\pi}{n}\cdot k\right)\frac{1}{n}\\&=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{n-1}f\left(\frac{2\pi}{n}\cdot k\right)\frac{1}{n}+f\left(\frac{2\pi}{n}\cdot n\right)\frac{1}{n}\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{2\pi}{n}\cdot k\right)\frac{1}{n}\\&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f\left(0+\frac{2\pi-0}{n}\cdot k\right)\frac{2\pi-0}{n}\cdot\frac{1}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\,dt\end{aligned}$

+10점 · 정적분의 값을 구했는가?

이고, $\displaystyle f(t)=2\sin\frac{t}{2}$ 이므로, $\displaystyle \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\,dt=\frac{4}{\pi}$ .

+20점 · 무한급수

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{S_1^2+S_2^2+\cdots+S_{n-1}^2}{n}

를 적당한 정적분의 식으로 변환하였는가?

3. $\displaystyle 1$ 번에서 구한 $\displaystyle g(t)$ 에 대하여, $\displaystyle S_1=g\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ , $\displaystyle S_2=g\left(\frac{2\pi}{n}\cdot2\right)$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle S_{n-1}=g\left(\frac{2\pi}{n}\cdot(n-1)\right)$ 이고, $\displaystyle g\left(\frac{2\pi}{n}\cdot n\right)=g(2\pi)=\pi$ 이므로,

$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac{S_1^2+\cdots+S_{n-1}^2}{n}&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n-1}\left(g\left(\frac{2\pi}{n}\cdot k\right)\right)^2\frac{1}{n}\end{aligned}$ $\displaystyle \begin{aligned}&=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\left(g\left(\frac{2\pi}{n}\cdot k\right)\right)^2\frac{1}{n}-\left(g\left(\frac{2\pi}{n}\cdot n\right)\right)^2\frac{1}{n}\right)\end{aligned}$ $\displaystyle \begin{aligned}&=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\left(g\left(0+\frac{2\pi-0}{n}\cdot k\right)\right)^2\frac{2\pi-0}{n}\cdot\frac{1}{2\pi}\right)-\lim_{n\to\infty}\frac{\pi^2}{n}\end{aligned}$ $\displaystyle \begin{aligned}&=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}(g(t))^2\,dt-0=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\left(\frac{1}{2}(t-\sin t)\right)^2\,dt\end{aligned}$ $\displaystyle \begin{aligned}&=\frac{1}{8\pi}\int_0^{2\pi}(t^2-2t\sin t+\sin^2t)\,dt\end{aligned}$ 이다.

+20점 · 정적분의 값을 구했는가?

부분적분에 의해 $\displaystyle \int t\sin t\,dt=-t\cos t+\sin t+C_1$ , $\displaystyle \int\sin^2t\,dt=\frac{1}{2}(t-\cos t\sin t)+C_2$ 를 구하고, 따라서 $\displaystyle \begin{aligned}\frac{1}{8\pi}\int_0^{2\pi}(t^2-2t\sin t+\sin^2t)\,dt&=\frac{1}{8\pi}\Biggl[\frac{1}{3}t^3-2(-t\cos t+2\sin t)+\frac{1}{2}(t-\cos t\sin t)\Biggr]_0^{2\pi}\end{aligned}$ Correction. 대괄호 안의 $\displaystyle 2\sin t$ 는 $\displaystyle \sin t$ 의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle \begin{aligned}&=\frac{1}{8\pi}\left(\frac{8}{3}\pi^3+5\pi\right)=\frac{\pi^2}{3}+\frac{5}{8}\end{aligned}$

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