자연계열 (오전) 2번

1. 꺼낸 카드에 적힌 수를 $\displaystyle X$라고 할 때, 표본평균 $\displaystyle \overline{X}$의 평균과 분산은 다음과 같이 계산된다.$\displaystyle \mathrm{E}(X)=\frac{1+2+3}{3}=2=\mathrm{E}(\overline{X})$, $\displaystyle \mathrm{V}(X)=\frac{(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2}{3}=\frac{2}{3}$, $\displaystyle \mathrm{V}(\overline{X})=\frac{\mathrm{V}(X)}{54}=\frac{1}{81}$$\displaystyle n=54$가 충분히 크기 때문에 표본평균 $\displaystyle \overline{X}$는 근사적으로 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(2,1/81)$을 따른다. $\displaystyle \mathrm{E}(-2\overline{X})=-2\mathrm{E}(\overline{X})=-4$, $\displaystyle \mathrm{V}(-2\overline{X})=(-2)^2\mathrm{V}(\overline{X})=\frac{4}{81}$

즉, $\displaystyle -2\overline{X}$의 평균과 분산은 각각 $\displaystyle -4$와 $\displaystyle 4/81$이므로 확률변수 $\displaystyle Z=\frac{-2\overline{X}+4}{\sqrt{4/81}}$는 표준정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(0,1)$을 따른다. 따라서 구하는 확률은$\displaystyle \mathrm{P}\left(-2\overline{X}\ge-\frac{11}{3}\right)=\mathrm{P}\left(Z\ge\frac{-11/3+4}{2/9}\right)=P(Z\ge1.5)=1-\mathrm{P}(Z\le1.5)=0.0668$이 된다.

2. $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}$를 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle f^{\prime}(e)=0$이고, $\displaystyle x<e$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$, $\displaystyle x>e$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$임을 알 수 있다.

만일 $\displaystyle a<b$인 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$가 $\displaystyle a^b=b^a$를 만족한다면 $\displaystyle \frac{\ln a}{a}=\frac{\ln b}{b}$, 즉 $\displaystyle f(a)=f(b)$가 성립한다. 여기서 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x<e$에서는 증가, $\displaystyle x>e$에서는 감소하므로, 만일 $\displaystyle e<a<b$라면 $\displaystyle f(a)>f(b)$, $\displaystyle a<b<e$라면 $\displaystyle f(a)<f(b)$가 되어 $\displaystyle f(a)=f(b)$가 불가능하다.따라서 $\displaystyle a<e<b$여야만 $\displaystyle f(a)=f(b)$를 얻을 수 있다. 여기서 무리수 $\displaystyle e=2.71\cdots$이므로 이보다 작은 양의 정수 $\displaystyle a$는 1 또는 2여야만 하는데, 모든 $\displaystyle b>e$에 대해 $\displaystyle f(1)=0<f(b)$이므로 $\displaystyle a=1$일수는 없다.

만일 $\displaystyle a=2$라면 양의 정수 $\displaystyle b$또한 $\displaystyle 2$의 제곱꼴이 되고, $\displaystyle b=4$가 $\displaystyle a^b=b^a$를 만족함을 알 수 있다. 역시 4보다 큰 값 $\displaystyle b^{\prime}$에 대해서는 $\displaystyle f(2)=f(4)>f(b^{\prime})$이므로, $\displaystyle b=4$가 $\displaystyle f(2)=f(b)$를 만족하는 유일한 값이다. 우리가 앞서 $\displaystyle a<b$를 가정했으나 대칭적으로 $\displaystyle b<a$ 또한 가능하고, 따라서 모든 양의 정수 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle (2,4),(4,2)$가 된다.

3. 점 O를 정 $\displaystyle n$각형의 외접원의 중심, 점 A, B를 정 $\displaystyle n$각형의 이웃한 두 꼭짓점이라고 하자. 삼각형 OAB에서 $\displaystyle \left(\frac{1}{n}\right)^2=2r^2-2r^2\cos\frac{2\pi}{n}$, $\displaystyle r^2=\frac{1}{2n^2\left(1-\cos\frac{2\pi}{n}\right)}$이므로

$\displaystyle \triangle\mathrm{OAB}=\frac{1}{2}r^2\sin\frac{2\pi}{n}=\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{4n^2\left(1-\cos\frac{2\pi}{n}\right)}$이므로 정 $\displaystyle n$각형의 넓이 $\displaystyle f(n)$은$\displaystyle f(n)=n\times\triangle\mathrm{OAB}=\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{4n\left(1-\cos\frac{2\pi}{n}\right)}$이다. 따라서$\displaystyle f(12)=\frac{\sin\frac{\pi}{6}}{48\left(1-\cos\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{1}{48(2-\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{48}$이고,

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}f(n)=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{4n\left(1-\cos\frac{2\pi}{n}\right)}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4n}\cdot\frac{1+\cos\frac{2\pi}{n}}{\sin\frac{2\pi}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4n}\cdot\frac{\frac{2\pi}{n}}{\sin\frac{2\pi}{n}}\cdot\frac{1+\cos\frac{2\pi}{n}}{\frac{2\pi}{n}}=\frac{1}{4\pi}$이다.