자연계열 (오전) 1번

1.삼각형 ABC의 평면 $\displaystyle \beta$로의 정사영을 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}$이라고 하고 $\displaystyle h$와 $\displaystyle h^{\prime}$을 각각 삼각형 ABC와 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}$의 높이라고 하면$\displaystyle h=(\text{삼각형 ABC의 높이})=\sin45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$\displaystyle h^{\prime}=(\text{삼각형 }\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\text{의 높이})=h\cdot\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta$$\displaystyle \overline{\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos^2\theta}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1+\cos^2\theta}$이다.

2. 선분 PQ를 가장 긴 변으로 하고 다음과 같은 성질을 만족하는 평면 $\displaystyle \alpha$위의 직각삼각형 PRQ를 생각한다.Comment. $\displaystyle t=0$ 또는 $\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$이면 두 꼭짓점이 겹쳐 삼각형이 만들어지지 않는다. 이때 정사영의 길이는 각각 $\displaystyle 1$, $\displaystyle \cos\theta$이므로 같은 공식이 성립한다.- 직선 PR과 직선 $\displaystyle l$은 수직이다.- 직선 RQ와 직선 $\displaystyle l$은 평행이다.이 때, $\displaystyle \angle\mathrm{Q}=t$, $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}=\sin t$, $\displaystyle \overline{\mathrm{RQ}}=\cos t$이다. 삼각형 PQR의 평면 $\displaystyle \beta$위로의 정사영을 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}\mathrm{Q}^{\prime}\mathrm{R}^{\prime}$이라고 하면 이 삼각형은 $\displaystyle \angle\mathrm{R}^{\prime}=90^{\circ}$인 직각삼각형이다. 따라서$\displaystyle \overline{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{R}^{\prime}}=\sin t\cos\theta$, $\displaystyle \overline{\mathrm{R}^{\prime}\mathrm{Q}^{\prime}}=\cos t$이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{Q}^{\prime}}=\sqrt{\sin^2t\cos^2\theta+\cos^2t}$이다.

3. 점 R, S, T중 직선 $\displaystyle l$에 가장 가까운 점을 R이라고 하자. 이제 직선 RS가 직선 $\displaystyle l$과 이루는 각을 $\displaystyle t$라고 하면 직선 TS가 직선 $\displaystyle l$과 이루는 각은 $\displaystyle \frac{\pi}{3}-t$이고, 직선 RT가 직선 $\displaystyle l$과 이루는 각은 $\displaystyle \frac{\pi}{3}+t$이다.Comment. $\displaystyle \frac{\pi}{3}\pm t$는 정삼각형의 배치에 따라 두 직선이 이루는 작은 각과 다를 수 있다. 다만 여기서는 사인과 코사인의 제곱만 사용하므로 같은 계산이 성립한다.문제 2의 식을 적용하면 삼각형 $\displaystyle \mathrm{R}^{\prime}\mathrm{S}^{\prime}\mathrm{T}^{\prime}$의 각 변의 길이의 제곱은 다음과 같다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{R}^{\prime}\mathrm{S}^{\prime}}^2=\sin^2t\cos^2\theta+\cos^2t$$\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{T}^{\prime}\mathrm{S}^{\prime}}^2&=\sin^2\left(\frac{\pi}{3}-t\right)\cos^2\theta+\cos^2\left(\frac{\pi}{3}-t\right)\\&=\left(\sin\frac{\pi}{3}\cos t-\cos\frac{\pi}{3}\sin t\right)^2\cos^2\theta+\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos t+\sin\frac{\pi}{3}\sin t\right)^2\end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{R}^{\prime}\mathrm{T}^{\prime}}^2&=\sin^2\left(\frac{\pi}{3}+t\right)\cos^2\theta+\cos^2\left(\frac{\pi}{3}+t\right)\\&=\left(\sin\frac{\pi}{3}\cos t+\cos\frac{\pi}{3}\sin t\right)^2\cos^2\theta+\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos t-\sin\frac{\pi}{3}\sin t\right)^2\end{aligned}$이 세 값을 더하면$\displaystyle \overline{\mathrm{R}^{\prime}\mathrm{S}^{\prime}}^2+\overline{\mathrm{T}^{\prime}\mathrm{S}^{\prime}}^2+\overline{\mathrm{R}^{\prime}\mathrm{T}^{\prime}}^2=\frac{3}{2}\cos^2\theta+\frac{3}{2}$이다.$\displaystyle \cos\theta=\frac{3}{\pi}$을 대입하면 답은 $\displaystyle \frac{3}{2}\times\left(\frac{3}{\pi}\right)^2+\frac{3}{2}=\frac{27+3\pi^2}{2\pi^2}$이다.