자연계열 (오후1) 2번

문항1. 확률변수 $\displaystyle X$를 진행한 시합 횟수라고 하자. 우승팀이 결정될 경우의 수는 팀 $\displaystyle A$의 결과가 승승승, 패패패 (시합 3회), 패승승승, 승패승승, 승승패승, 승패패패 패승패패, 패패승패 (시합 4회),Correction. “승패패패”와 “패승패패” 사이에 쉼표가 빠졌다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.승패패승승, 승패승패승, 승승패패승, 패승패승승, 패승승패승, 패패승승승, 승승패패패, 승패승패패, 승패패승패, 패승승패패, 패승패승패, 패패승승패 (시합 5회) 총 20가지이다.

따라서 기댓값은 다음과 같다.$\displaystyle E(X)=3[p^3+(1-p)^3]+4[3p^3(1-p)+3p(1-p)^3]+5[6p^3(1-p)^2+6p^2(1-p)^3]$이 기댓값 $\displaystyle p$의 함수는 $\displaystyle 6p^4-12p^3+3p^2+3p+3$이다.

문항2. 타원을 좌표평면에 두어 $\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$이라 하자.직사각형의 한 변을 포함하는 접선의 기울기를 $\displaystyle m$이라 하자.먼저 $\displaystyle m=0$이면, 직사각형의 변의 길이는 $\displaystyle 6$또는 $\displaystyle 4$이고 $\displaystyle 2\sqrt{5}$가 아니므로$\displaystyle m\ne0$임을 알 수 있다. 기울기 $\displaystyle m(\ne0)$인 직선에 수직인 직선의 기울기는 $\displaystyle -\frac{1}{m}$이므로, 직사각형의 네 변은 각각 다음의 접선에 포함된다.① $\displaystyle y=mx+\sqrt{9m^2+4}$② $\displaystyle y=mx-\sqrt{9m^2+4}$③ $\displaystyle y=-\frac{1}{m}x+\sqrt{\frac{9}{m^2}+4}$④ $\displaystyle y=-\frac{1}{m}x-\sqrt{\frac{9}{m^2}+4}$

직선 ①과 ②사이의 거리를 $\displaystyle a$이라고 하고, 직선 ③과 ④사이의 거리를 $\displaystyle b$라고 하면,$\displaystyle a=2\sqrt{\frac{9m^2+4}{m^2+1}}$, $\displaystyle b=2\sqrt{\frac{9+4m^2}{1+m^2}}$이고, $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$ 둘 중 하나가 $\displaystyle 2\sqrt{5}$이다.$\displaystyle a=2\sqrt{5}$이면 $\displaystyle m=\pm\frac{1}{2}$이고 따라서 $\displaystyle b=4\sqrt{2}$이다. $\displaystyle b=2\sqrt{5}$이면 $\displaystyle m=\pm2$이고 따라서 $\displaystyle a=4\sqrt{2}$이다.두 경우 모두 직사각형의 넓이는 $\displaystyle ab=8\sqrt{10}$이다.

문항3. $\displaystyle f(x)$의 한 부정적분을 $\displaystyle F(x)$라 하자. 구간 $\displaystyle [-a,a]$를 $\displaystyle [-a,0]$과 $\displaystyle [0,a]$로 나누어 각각 부분적분하면$\displaystyle \int_0^a(a-x)f^{\prime}(x)\,dx=\left.(a-x)f(x)\right|_0^a+\int_0^a f(x)\,dx=F(a)-F(0)-af(0)$,$\displaystyle \int_{-a}^0(a+x)f^{\prime}(x)\,dx=\left.(a+x)f(x)\right|_{-a}^0-\int_{-a}^0 f(x)\,dx=F(-a)-F(0)+af(0)$를 얻는다. 이를 합하면 $\displaystyle \int_{-a}^a(a-|x|)f^{\prime}(x)\,dx=F(a)+F(-a)-2F(0)$이 되고, 따라서 주어진 조건에 의해 모든 $\displaystyle x\ge0$에 대해 $\displaystyle F(x)=-F(-x)+2F(0)$임을 알 수 있다.

여기서 양변을 $\displaystyle x$에 대해 미분하면 $\displaystyle f(x)=f(-x)$가 모든 $\displaystyle x>0$에 대해 성립한다. $\displaystyle x=0$인 경우에는 당연히 $\displaystyle f(x)=f(-x)$이고, $\displaystyle x<0$인 경우에도 대칭성에 의해 $\displaystyle f(x)=f(-(-x))=f(-x)$임을 알 수 있다. 따라서 모든 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f(x)=f(-x)$가 성립한다.