자연계열 1번

10 · (1-1)

(1-1)아래 그림과 같이 원 $\displaystyle C_R$의 중심을 $\displaystyle O_1$이라 하고 원 $\displaystyle C_R$이 선분 $\displaystyle AB$와 접하는 점을 $\displaystyle P$, 원 $\displaystyle C_r$이 호 $\displaystyle AB$와 접하는 점을 $\displaystyle Q$라 하자. 그리고 원 $\displaystyle C_R$의 중심 $\displaystyle O_1$에서 선분 $\displaystyle OB$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle H$라 하자.

삼각형 $\displaystyle AOB$가 직각이등변삼각형이고 $\displaystyle \overline{AB}=\sqrt2$이므로 $\displaystyle \overline{OP}=\overline{PB}=\overline{HB}=\frac{\sqrt2}2$이다. 따라서$\displaystyle R=\overline{OH}=1-\overline{HB}=1-\frac{\sqrt2}2$이고, $\displaystyle r=\frac12\overline{PQ}=\frac12(1-\overline{OP})=\frac12\left(1-\frac{\sqrt2}2\right)$이다.

15 · (1-2)

(1-2)아래 그림과 같이 원 $\displaystyle C_R$의 중심을 $\displaystyle O_1$이라 하고 원 $\displaystyle C_R$이 선분 $\displaystyle AB$와 접하는 점을 $\displaystyle P$, 원 $\displaystyle C_r$이 호 $\displaystyle AB$와 접하는 점을 $\displaystyle Q$라 하자. 그리고 원 $\displaystyle C_R$의 중심 $\displaystyle O_1$에서 선분 $\displaystyle OB$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle H$라 하자.

(i) 위의 그림으로부터 $\displaystyle \overline{AP}=\overline{BP}=\overline{HB}=\sin\frac\theta2$이고 $\displaystyle \overline{OP}=\cos\frac\theta2$이므로 다음을 얻는다.$\displaystyle r=\frac12\overline{PQ}=\frac12(1-\overline{OP})=\frac12\left(1-\cos\frac\theta2\right)$ (혹은 이 식을 변형한 식)$\displaystyle R=\overline{OH}\tan\frac\theta2=(1-\overline{HB})\tan\frac\theta2=\left(1-\sin\frac\theta2\right)\tan\frac\theta2=\frac{\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2}{1+\sin\frac\theta2}$ (혹은 이 식을 변형한 식)

(ii) $\displaystyle \frac r{R^2}=\frac{\left(1-\cos\frac\theta2\right)\left(1+\sin\frac\theta2\right)^2}{2\cos^2\frac\theta2\sin^2\frac\theta2}$이고$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{\theta\to+0}\frac r{R^2}&=\lim_{\theta\to+0}\frac{\left(1-\cos\frac\theta2\right)\left(1+\sin\frac\theta2\right)^2}{2\cos^2\frac\theta2\sin^2\frac\theta2}=\lim_{\theta\to+0}\frac{1-\cos\frac\theta2}{2\sin^2\frac\theta2}\\&=\lim_{\theta\to+0}\frac{\left(1-\cos\frac\theta2\right)\left(1+\cos\frac\theta2\right)}{2\sin^2\frac\theta2\left(1+\cos\frac\theta2\right)}=\lim_{\theta\to+0}\frac{\sin^2\frac\theta2}{2\sin^2\frac\theta2\left(1+\cos\frac\theta2\right)}\\&=\lim_{\theta\to+0}\frac1{2\left(1+\cos\frac\theta2\right)}=\frac14\end{aligned}$

(참고) (i)에서 구한 $\displaystyle R,r$의 $\displaystyle \theta$에 대한 삼각함수로 다양하게 표현된 것에 대해서도 같은 극한값을 갖는다.