자연계열 3번

(3-1)도미노 타일 $\displaystyle k$개와 정사각형 타일 $\displaystyle (n-2k)$개를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같다. 즉, 2종류의 $\displaystyle (n-k)$개의 타일 중 도미노 타일 $\displaystyle k$개를 놓을 순서를 선택하는 방법이므로,$\displaystyle {}_{n-k}\mathrm C_k={}_{n-k}\mathrm C_{n-2k}=\frac{(n-k)!}{k!(n-2k)!}=\frac{(n-k)(n-k-1)\cdots(n-2k+1)}{k!}$가 된다.

(3-2)위의 결과를 이용하면, $\displaystyle a_n$과 $\displaystyle b_n$의 정의에 따라서 일반항을 다음과 같이 표현할 수 있다.$\displaystyle a_n={}_n\mathrm C_0+{}_{n-2}\mathrm C_2+{}_{n-4}\mathrm C_4+\cdots$$\displaystyle b_n={}_{n-1}\mathrm C_1+{}_{n-3}\mathrm C_3+{}_{n-5}\mathrm C_5+\cdots$따라서 위의 식을 이용하여 계산을 하면,$\displaystyle a_{10}={}_{10}\mathrm C_0+{}_8\mathrm C_2+{}_6\mathrm C_4=1+28+15=44$$\displaystyle b_{10}={}_9\mathrm C_1+{}_7\mathrm C_3+{}_5\mathrm C_5=9+35+1=45$가 된다.

(3-3)파스칼의 정리($\displaystyle {}_n\mathrm C_k={}_{n-1}\mathrm C_k+{}_{n-1}\mathrm C_{k-1}$)와 경계조건 ($\displaystyle {}_n\mathrm C_0={}_{n-1}\mathrm C_0=1$)에 의해 다음과 같이 정리할 수 있다. 양의 정수 $\displaystyle n\ge3$에 대하여$\displaystyle \begin{aligned}a_{n-1}+b_{n-2}&=({}_{n-1}\mathrm C_0+{}_{n-3}\mathrm C_2+{}_{n-5}\mathrm C_4+\cdots)\\&\qquad+({}_{n-3}\mathrm C_1+{}_{n-5}\mathrm C_3+{}_{n-7}\mathrm C_5+\cdots)\\&={}_n\mathrm C_0+{}_{n-2}\mathrm C_2+{}_{n-4}\mathrm C_4+{}_{n-6}\mathrm C_6+\cdots=a_n\end{aligned}$이고,$\displaystyle \begin{aligned}b_{n-1}+a_{n-2}&=({}_{n-2}\mathrm C_1+{}_{n-4}\mathrm C_3+{}_{n-6}\mathrm C_5+\cdots)\\&\qquad+({}_{n-2}\mathrm C_0+{}_{n-4}\mathrm C_2+{}_{n-6}\mathrm C_4+\cdots)\\&={}_{n-1}\mathrm C_1+{}_{n-3}\mathrm C_3+{}_{n-5}\mathrm C_5+\cdots=b_n\end{aligned}$이 된다. 따라서 $\displaystyle \begin{cases}a_n=a_{n-1}+b_{n-2}\\b_n=b_{n-1}+a_{n-2}\end{cases}$가 성립한다.

(3-4)$\displaystyle c_n=a_n-b_n$이라 하자. (3-3)의 결과를 활용하면$\displaystyle \begin{aligned}c_n&=a_n-b_n\\&=(a_{n-1}+b_{n-2})-(b_{n-1}+a_{n-2})\\&=(a_{n-1}-b_{n-1})-(a_{n-2}-b_{n-2})\\&=c_{n-1}-c_{n-2}\end{aligned}$이 성립한다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}c_1&=a_1-b_1=1-0=1\\c_2&=a_2-b_2=1-1=0\\c_3&=c_2-c_1=0-1=-1\\c_4&=c_3-c_2=-1-0=-1\\c_5&=c_4-c_3=-1-(-1)=0\\c_6&=c_5-c_4=0-(-1)=1\\c_7&=c_6-c_5=1-0=1\\&\quad\vdots\end{aligned}$으로 $\displaystyle c_n$은 주기가 6인 순환수열이 되고, $\displaystyle c_n$의 첫 6항이 $\displaystyle 1,0,-1,-1,0,1$이므로, 모든 양의 정수 $\displaystyle n\ge1$에 대하여 $\displaystyle |c_n|=|a_n-b_n|\le1$이 성립한다.