자연계열 (오후) 3번

(3-1)평면 $\displaystyle x+y+2z=6$의 법선벡터는 $\displaystyle (1,1,2)$이다. 따라서 (구의 중심과 원 $\displaystyle C$의 중심을 지나는 직선은 평면과 수직이므로) 원 $\displaystyle C$의 중심은 $\displaystyle (t,t,2t)$ 형태가 된다. 따라서 $\displaystyle t+t+2t=6$을 계산하면, $\displaystyle t=1$이므로, 원 $\displaystyle C$의 중심은 $\displaystyle (1,1,2)$가 된다. 또한 구의 중심인 원점에서 원 $\displaystyle C$중심까지의 거리는 $\displaystyle \sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt6$이고, 구의 반지름은 $\displaystyle \sqrt{11}$이므로, 원의 반지름은 $\displaystyle r=\sqrt{\sqrt{11}^{\,2}-\sqrt6^{\,2}}=\sqrt5$가 된다.

(3-2)직선 $\displaystyle l:x-k=\frac{y+4}4=-\frac z2$의 평면 $\displaystyle x+y+2z=6$에 내린 정사영이 원 $\displaystyle C$의 중심을 지난다면, 원 $\displaystyle C$의 중심을 지나고 평면 $\displaystyle x+y+2z=6$에 수직인 직선 $\displaystyle x=y=\frac z2$은 직선 $\displaystyle l:x-k=\frac{y+4}4=\frac{-z}2$과 한 점에서 만나야 한다. 따라서 그 만나는 점을 $\displaystyle (t,t,2t)$라고 하면, $\displaystyle t-k=\frac{t+4}4=-t$를 만족해야 하며, $\displaystyle t=\frac{-4}5$이고, $\displaystyle k=2t=\frac{-8}5$이다.

(3-3)원 $\displaystyle C$ 위의 점 $\displaystyle P$의 좌표를 $\displaystyle (x,y,z)$라 하자.$\displaystyle \begin{cases}x+y+2z=6\\x^2+y^2+z^2=11\end{cases}$이므로,$\displaystyle \begin{cases}x+y=6-2z\\xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}2=\frac{(6-2z)^2-(11-z^2)}2\end{cases}$따라서 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$는 다음 이차방정식의 실수해가 된다.$\displaystyle t^2-(6-2z)t+\frac{(6-2z)^2-(11-z^2)}2=0$따라서 위의 이차방정식의 판별식은 다음 조건을 만족한다.$\displaystyle D=(6-2z)^2-2(6-2z)^2+2(11-z^2)=-3z^2+12z-7\ge0$Correction. 판별식을 전개하면 $\displaystyle D=-6z^2+24z-14$이다. 원문의 마지막 식은 $\displaystyle D$를 2로 나눈 식이며, 양수 2로 나누어도 부등식의 해는 같으므로 뒤의 $\displaystyle z$의 범위와 최댓값은 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 $\displaystyle \frac{6-\sqrt{15}}3\le z\le\frac{6+\sqrt{15}}3$이 된다. 그러므로$\displaystyle \overrightarrow{IP}\cdot\overrightarrow{IQ}=(x+1,y-1,z)\cdot(0,0,3)=3z$이므로, $\displaystyle \overrightarrow{IP}\cdot\overrightarrow{IQ}$의 최댓값은 $\displaystyle 6+\sqrt{15}$이다.