인하대 2016학년도 수시 자연계열 (오후) 2번 해설

차수가 $\displaystyle n-1$ 이하인 다항식 $\displaystyle F(x)$ 를 서로 다른 1차식들의 곱인 $\displaystyle n$ 차 다항식 $\displaystyle P(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)$ 으로 나누어 얻어진 유리식 $\displaystyle Q(x)=\frac{F(x)}{P(x)}$ 는 항상 $\displaystyle Q(x)=\sum_{i=1}^n\frac{b_i}{x-a_i}$ 의 꼴로 나타낼 수 있다.

(※) 양의 정수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle P_n(x)=(x-1)(x-2)\cdots(x-n)$ 이라 하고 $\displaystyle Q_n(x)=\frac1{P_n(x)}$ 이라 하자.

(2-1) 유리식 $\displaystyle Q_5(x)$ 를 제시문과 같이 $\displaystyle Q_5(x)=\frac{b_1}{x-1}+\frac{b_2}{x-2}+\frac{b_3}{x-3}+\frac{b_4}{x-4}+\frac{b_5}{x-5}$ 로 나타낼 때, 상수 $\displaystyle b_1,b_2,b_3,b_4,b_5$ 의 값을 구하시오. (10점)

(2-2) 양의 정수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle Q_n(x)$ 를 제시문과 같이 $\displaystyle Q_n(x)=\sum_{i=1}^n\frac{b_i}{x-i}$ 로 나타낼 때, $\displaystyle (n-1)!\sum_{i=1}^n|b_i|$ 를 구하시오. (15점)

인하대 2016학년도 수시 자연계열 (오후) 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2016su/jayeon_pm_2

10 · (2-1)

(2-1) $\displaystyle P_5(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ 에 대해 다음을 얻는다. $\displaystyle Q_5(x)=\frac1{P_5(x)}=\frac{b_1}{x-1}+\frac{b_2}{x-2}+\frac{b_3}{x-3}+\frac{b_4}{x-4}+\frac{b_5}{x-5}$ $\displaystyle \Rightarrow\quad1=b_1\frac{P_5(x)}{x-1}+b_2\frac{P_5(x)}{x-2}+b_3\frac{P_5(x)}{x-3}+b_4\frac{P_5(x)}{x-4}+b_5\frac{P_5(x)}{x-5}$ $\displaystyle \begin{aligned}\Rightarrow\quad1&=b_1(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)\\&\quad+b_2(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)\\&\qquad+b_3(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)\\&\qquad\quad+b_4(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)\\&\qquad\qquad+b_5(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\end{aligned}$ $\displaystyle x=1$ 을 대입하면 $\displaystyle 1=b_1(-1)(-2)(-3)(-4)=(4!)b_1\quad\Rightarrow\quad b_1=\frac1{4!}=\frac1{24}$ $\displaystyle x=2$ 를 대입하면 $\displaystyle 1=b_2(1)(-1)(-2)(-3)=-(3!)b_2\quad\Rightarrow\quad b_2=-\frac1{3!}=-\frac16$ $\displaystyle x=3$ 을 대입하면 $\displaystyle 1=b_3(2)(1)(-1)(-2)=(2!)(2!)b_3\quad\Rightarrow\quad b_3=\frac1{(2!)(2!)}=\frac14$ $\displaystyle x=4$ 를 대입하면 $\displaystyle 1=b_4(3)(2)(1)(-1)=-(3!)b_4\quad\Rightarrow\quad b_4=-\frac1{3!}=-\frac16$ $\displaystyle x=5$ 를 대입하면 $\displaystyle 1=b_5(4)(3)(2)(1)=(4!)b_5\quad\Rightarrow\quad b_5=\frac1{4!}=\frac1{24}$

15 · (2-2)

(2-2) $\displaystyle Q_n(x)=\frac1{P_n(x)}=\frac{b_1}{x-1}+\frac{b_2}{x-2}+\frac{b_3}{x-3}+\cdots+\frac{b_n}{x-n}$ $\displaystyle \Rightarrow\quad1=b_1\frac{P_n(x)}{x-1}+b_2\frac{P_n(x)}{x-2}+b_3\frac{P_n(x)}{x-3}+\cdots+b_n\frac{P_n(x)}{x-n}$ $\displaystyle \begin{aligned}\Rightarrow\quad1&=b_1(x-2)(x-3)(x-4)\cdots(x-n)\\&\quad+b_2(x-1)(x-3)(x-4)\cdots(x-n)\\&\qquad+b_3(x-1)(x-2)(x-4)\cdots(x-n)\\&\qquad\qquad\vdots\\&\qquad\quad+b_n(x-1)(x-2)(x-3)\cdots(x-(n-1))\end{aligned}$ ∴ $\displaystyle x=i\ (i=1,2,3,\cdots,n)$ 이라 놓으면 $\displaystyle 1=b_1 0+b_2 0+\cdots+b_{i-1}0+b_i(-1)^{n-i}(i-1)!(n-i)!+b_{i+1}0+\cdots+b_n0$ $\displaystyle \Rightarrow\quad b_i=\frac{(-1)^{n-i}}{(i-1)!(n-i)!}=\frac{(-1)^{n-i}}{(n-1)!}\frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}=\frac{(-1)^{n-i}}{(n-1)!}{}_{n-1}\mathrm C_{i-1}$ $\displaystyle \Rightarrow\quad(n-1)!\sum_{i=1}^n|b_i|=(n-1)!\sum_{i=1}^n\left[\frac1{(n-1)!}{}_{n-1}\mathrm C_{i-1}\right]=\sum_{i=1}^n{}_{n-1}\mathrm C_{i-1}=2^{n-1}$

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자연계열 (오후) 2번

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