자연계열 2번

(2-1)직선 $\displaystyle l$과 타원 $\displaystyle C$로부터 이차방정식 $\displaystyle 5x^2+8kx+4k^2-4=0$을 얻는다. 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로$\displaystyle D/4=16k^2-5(4k^2-4)=-4k^2+20=-4(k^2-5)>0$이다. 따라서 타원 $\displaystyle C$와 직선 $\displaystyle l$이 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 상수 $\displaystyle k$의 범위는 $\displaystyle -\sqrt5<k<\sqrt5$이다.

(2-2)타원 $\displaystyle C$와 직선 $\displaystyle l$이 서로 다른 두 점 $\displaystyle P,Q$에서 만난다고 하자. $\displaystyle P,Q$의 좌표를 $\displaystyle P(\alpha,\alpha+k),Q(\beta,\beta+k)$라 하면 $\displaystyle \alpha,\beta$는 (2-1)에서 얻은 이차방정식$\displaystyle 5x^2+8kx+4k^2-4=0\quad(-\sqrt5<k<\sqrt5)$의 서로 다른 두 실근이므로 $\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{8k}5,\ \alpha\beta=\frac{4k^2-4}5$이다. 삼각형 $\displaystyle OPQ$의 밑변의 길이인 선분 $\displaystyle PQ$의 길이를 구하면$\displaystyle \begin{aligned}\overline{PQ}^{\,2}&=(\alpha-\beta)^2+(\alpha+k-\beta-k)^2=2(\alpha-\beta)^2=2\{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\}\\&=2\left\{\frac{64k^2}{25}-\frac{16(k^2-1)}5\right\}=2\left\{\frac{80-16k^2}{25}\right\}=\frac{32(5-k^2)}{25}\end{aligned}$$\displaystyle \therefore\ \overline{PQ}=\sqrt{\frac{32(5-k^2)}{25}}=\frac{\sqrt{32(5-k^2)}}5$한편, 삼각형 $\displaystyle OPQ$의 높이는 원점 $\displaystyle O(0,0)$에서 직선 $\displaystyle x-y+k=0$까지의 거리이므로 $\displaystyle \frac{|k|}{\sqrt2}$이다. 따라서 삼각형 $\displaystyle OPQ$의 넓이는$\displaystyle S(k)=\frac12\frac{|k|}{\sqrt2}\frac{\sqrt{32(5-k^2)}}5=\frac25\sqrt{k^2(5-k^2)}$이다. $\displaystyle f(k)=5k^2-k^4$이라 하자. $\displaystyle f^{\prime}(k)=10k-4k^3=2k(5-2k^2)=0$을 풀면 $\displaystyle k=0,\ \pm\sqrt{\frac52}$를 갖는다. $\displaystyle f^{\prime}(k)$의 삼차다항식의 그래프로부터 $\displaystyle k=\pm\sqrt{\frac52}$에서 $\displaystyle f(k)$는 최댓값(극댓값)을 갖는다. 따라서 삼각형 $\displaystyle OPQ$의 최대 넓이는 $\displaystyle k=\pm\sqrt{\frac52}$에서 $\displaystyle S\left(\pm\sqrt{\frac52}\right)=1$이다.