자연계열 4번

(4-1)$\displaystyle f(x)=x\sin x\ (x\ge0)$fk 하면 $\displaystyle f(x)$의 그래프는 다음과 같이 주어진다.

(4-2)먼저$\displaystyle \begin{aligned}g(\pi)&=\pi-\pi=0\\g(2\pi)&=\pi(1+3)-\pi|1-3|=2\pi\\g(3\pi)&=\pi(1+3+5)-\pi|1-3+5|=6\pi\\g(4\pi)&=\pi(1+3+5+7)-\pi|1-3+5-7|=12\pi\end{aligned}$이다.(i) $\displaystyle x>4\pi$에서 $\displaystyle g(x)$가 증가함수이므로 $\displaystyle g(x)>g(4\pi)=12\pi$이다. 따라서 $\displaystyle g(x)=12\pi$를 만족하는 $\displaystyle x$의 최댓값인 $\displaystyle \beta$는 $\displaystyle \beta=4\pi$이다.(ii) $\displaystyle \int_0^{3\pi}t\sin t\,dt=(1-3+5)\pi=3\pi$이고 $\displaystyle \int_0^{4\pi}t\sin t\,dt=-4\pi$이므로$\displaystyle \int_0^\alpha t\sin t\,dt=0$인 $\displaystyle \alpha$가 구간 $\displaystyle (3\pi,4\pi)$에서 존재한다.(iii) $\displaystyle 3\pi\le x\le\alpha$에서 $\displaystyle g(x)$는 증가함수이고$\displaystyle g(\alpha)=\int_0^\alpha|t\sin t|\,dt-\left|\int_0^\alpha t\sin t\,dt\right|=\int_0^\alpha|t\sin t|\,dt=(1+3+5+3)\pi=12\pi$이므로 $\displaystyle g(x)=12\pi$를 만족하는 $\displaystyle x$의 최솟값은 $\displaystyle \alpha$이다. 그러므로$\displaystyle \int_\alpha^\beta t\sin t\,dt=\int_0^{4\pi}t\sin t\,dt-\int_0^\alpha t\sin t\,dt=-4\pi$이다.