자연계열 (오후) 4번

(4-1)$\displaystyle \alpha(k)=\sqrt{1-k^2}$이라고 두면, 제시문 (가)에 의해 주어진 회전체 부피는$\displaystyle V_1(k)=2\pi\int_0^{\alpha(k)}(\sqrt{1-x^2}-k)^2\,dx$$\displaystyle V_2(k)=2\pi k^2-2\pi\int_{\alpha(k)}^1(\sqrt{1-x^2}-k)^2\,dx$임을 알 수 있다. 이 때, $\displaystyle V_1(k)-V_2(k)$를 계산하면$\displaystyle \begin{aligned}V_1(k)-V_2(k)&=2\pi\int_0^1(\sqrt{1-x^2}-k)^2\,dx-2\pi k^2\\&=2\pi\int_0^1(-2k\sqrt{1-x^2}+1-x^2)\,dx\\&=-4k\pi\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx+\frac{4\pi}3\end{aligned}$이고 $\displaystyle \int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac\pi4$이므로 $\displaystyle V_1(k)-V_2(k)=\frac{4\pi}3-\pi^2k$이 된다.

(4-2)(4-1)에서의 $\displaystyle V_1$의 적분으로 주어진 식을 계산하면$\displaystyle \begin{aligned}V_1(k)&=2\pi\int_0^{\alpha(k)}(1+k^2-x^2-2k\sqrt{1-x^2})\,dx\\&=2\pi\alpha(k)(1+k^2)-\frac{2\pi}3\alpha(k)^3-4\pi k\int_0^{\alpha(k)}\sqrt{1-x^2}\,dx\end{aligned}$제시문 (다)를 이용하면$\displaystyle \frac d{dk}\int_0^{\alpha(k)}\sqrt{1-x^2}\,dx=\sqrt{1-\alpha(k)^2}\,\alpha^{\prime}(k)=k\,\alpha^{\prime}(k)$이므로, $\displaystyle V_1(k)$을 다음과 같이 미분할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}\frac d{dk}V_1(k)&=2\pi\alpha^{\prime}(k)(1+k^2)+4\pi k\alpha(k)-2\pi\alpha(k)^2\alpha^{\prime}(k)-4\pi\int_0^{\alpha(k)}\sqrt{1-x^2}\,dx-4\pi k^2\alpha^{\prime}(k)\\&=4\pi k\alpha(k)-4\pi\int_0^{\alpha(k)}\sqrt{1-x^2}\,dx\quad(\because1-k^2=\alpha(k)^2)\end{aligned}$

(4-3)(4-1)의 결과에 의하면 $\displaystyle V_1(k)+V_2(k)=2V_1(k)+\pi^2k-\frac{4\pi}3$이고, (4-2)의 결과를 이용하면 $\displaystyle V_1^{\prime}(k)+V_2^{\prime}(k)$은$\displaystyle \frac d{dk}(V_1(k)+V_2(k))=2\frac d{dk}V_1(k)+\pi^2=-8\pi\int_k^1\sqrt{1-x^2}\,dx+\pi^2$따라서 $\displaystyle \int_c^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac\pi8$인 $\displaystyle k=c$에서 $\displaystyle \frac d{dk}(V_1(k)+V_2(k))=0$임을 알 수 있다. 또한$\displaystyle \frac{d^2}{dk^2}(V_1(k)+V_2(k))=8\pi\sqrt{1-k^2}\ge0$이므로 $\displaystyle k=c$에서 최솟값을 가짐을 알 수 있다. 따라서 구하고자 하는 값은$\displaystyle \int_0^c\sqrt{1-x^2}\,dx=\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx-\int_c^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac\pi4-\frac\pi8=\frac\pi8$이다.