자연계열 1번

(1-1) 제시문(가)에 의해, $\displaystyle 1+\omega+\omega^{2}=0$이고 $\displaystyle \omega^{3}=1$ 이다.(i) $\displaystyle k=0$이면 다음과 같이 계산된다.$\displaystyle \frac{1+\omega^{k}+\omega^{2k}}{3}=\frac{1+\omega^{0}+\omega^{0}}{3}=\frac{1+1+1}{3}=1$(ii) $\displaystyle k=1$이면 다음과 같이 계산된다.$\displaystyle \frac{1+\omega^{k}+\omega^{2k}}{3}=\frac{1+\omega^{1}+\omega^{2}}{3}=\frac{0}{3}=0$(iii) $\displaystyle k=2$이면 다음과 같이 계산된다.$\displaystyle \frac{1+\omega^{k}+\omega^{2k}}{3}=\frac{1+\omega^{2}+\omega^{4}}{3}=\frac{1+w^{2}+w^{1}}{3}=0$Correction. 분자에 적힌 로마자 $\displaystyle w$는 문제에서 정의한 복소수 $\displaystyle \omega$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \omega^{3}=1$이므로 $\displaystyle \frac{1+\omega^{k}+\omega^{2k}}{3}$은 $\displaystyle k$에 따라 3의 주기로 순환하므로 다음이 성립한다.$\displaystyle \frac{1+\omega^{k}+\omega^{2k}}{3}=\begin{cases}1, & k\text{가 3의 배수일 때} \\ 0, & k\text{가 3의 배수가 아닐 때}\end{cases}$

(1-2) 제시문(나) (이항정리)에 의해$\displaystyle 2^{n}=(1+1)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}C_{k},\quad (1+\omega)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\omega^{k},\quad (1+\omega^{2})^{n}=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\omega^{2k}$

따라서$\displaystyle \begin{aligned} \frac{2^{n}+(1+\omega)^{n}+(1+\omega^{2})^{n}}{3} &=\frac{1}{3}\left(\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}+\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\omega^{k}+\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\omega^{2k}\right) \\\\ &=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{1+\omega^{k}+\omega^{2k}}{3}\right)\quad((1-1)\text{의 결과를 적용}) \\\\ &={}_{n}\mathrm{C}_{0}+{}_{n}\mathrm{C}_{3}+{}_{n}\mathrm{C}_{6}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{3m} \\\\ &=a_{n} \end{aligned}$

(1-3) $\displaystyle 1+\omega+\omega^{2}=0$이므로 (1-2)번의 결과에 의해서 다음과 같이 계산할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned} a_{n}-\frac{2^{n}}{3} &=\frac{(1+\omega)^{n}+(1+\omega^{2})^{n}}{3} \\\\ &=\frac{(-\omega^{2})^{n}+(-\omega)^{n}}{3} \\\\ &=(-1)^{n}\left(\frac{\omega^{2n}+\omega^{n}}{3}\right) \\\\ &=(-1)^{n}\left(\frac{1+\omega^{n}+\omega^{2n}}{3}-\frac{1}{3}\right) \end{aligned}$$\displaystyle n$이 3의 배수일 때, (1-1)번의 결과에 의해 $\displaystyle 1+\omega^{n}+\omega^{2n}=3$이므로,$\displaystyle \left|a_{n}-\frac{2^{n}}{3}\right|=\frac{2}{3}$

(1-4) $\displaystyle 1+\omega+\omega^{2}=0$이므로 (1-2)번의 결과에 의해서 다음과 같이 계산할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned} a_{n}-\frac{2^{n}}{3} &=\frac{(1+\omega)^{n}+(1+\omega^{2})^{n}}{3} \\\\ &=\frac{(-\omega^{2})^{n}+(-\omega)^{n}}{3} \\\\ &=(-1)^{n}\left(\frac{\omega^{2n}+\omega^{n}}{3}\right) \\\\ &=(-1)^{n}\left(\frac{1+\omega^{n}+\omega^{2n}}{3}-\frac{1}{3}\right) \end{aligned}$$\displaystyle n$이 3의 배수가 아닐 때, (1-1)번의 결과에 의해 $\displaystyle 1+\omega^{n}+\omega^{2n}=0$이므로,$\displaystyle \left|a_{n}-\frac{2^{n}}{3}\right|=\frac{1}{3}$