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자연계열 1번

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인하대 2017학년도 수시 오전 자연계열 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/inha/2017su_am/jayeon_1

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인하대 2017학년도 수시 오전 자연계열 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/inha/2017su_am/jayeon_1

+5점 · k\displaystyle k의 값에 따라 1+ωk+ω2k\displaystyle 1+\omega^{k}+\omega^{2k}의 계산과정에서 1+ω+ω2=0\displaystyle 1+\omega+\omega^{2}=0을 정확하게 이용

(1-1) 제시문(가)에 의해, 1+ω+ω2=0\displaystyle 1+\omega+\omega^{2}=0이고 ω3=1\displaystyle \omega^{3}=1 이다.(i) k=0\displaystyle k=0이면 다음과 같이 계산된다.1+ωk+ω2k3=1+ω0+ω03=1+1+13=1\displaystyle \frac{1+\omega^{k}+\omega^{2k}}{3}=\frac{1+\omega^{0}+\omega^{0}}{3}=\frac{1+1+1}{3}=1(ii) k=1\displaystyle k=1이면 다음과 같이 계산된다.1+ωk+ω2k3=1+ω1+ω23=03=0\displaystyle \frac{1+\omega^{k}+\omega^{2k}}{3}=\frac{1+\omega^{1}+\omega^{2}}{3}=\frac{0}{3}=0(iii) k=2\displaystyle k=2이면 다음과 같이 계산된다.1+ωk+ω2k3=1+ω2+ω43=1+w2+w13=0\displaystyle \frac{1+\omega^{k}+\omega^{2k}}{3}=\frac{1+\omega^{2}+\omega^{4}}{3}=\frac{1+w^{2}+w^{1}}{3}=0Correction. 분자에 적힌 로마자 w\displaystyle w는 문제에서 정의한 복소수 ω\displaystyle \omega의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.ω3=1\displaystyle \omega^{3}=1이므로 1+ωk+ω2k3\displaystyle \frac{1+\omega^{k}+\omega^{2k}}{3}은 k\displaystyle k에 따라 3의 주기로 순환하므로 다음이 성립한다.1+ωk+ω2k3={1,k가 3의 배수일 때0,k가 3의 배수가 아닐 때\displaystyle \frac{1+\omega^{k}+\omega^{2k}}{3}=\begin{cases}1, & k\text{가 3의 배수일 때} \\ 0, & k\text{가 3의 배수가 아닐 때}\end{cases}

+5점 · 이항정리를 이용하여 2n=(1+1)n\displaystyle 2^{n}=(1+1)^{n}, (1+ω)n\displaystyle (1+\omega)^{n}, (1+ω2)n\displaystyle (1+\omega^{2})^{n}의 계산이 맞음

(1-2) 제시문(나) (이항정리)에 의해2n=(1+1)n=∑k=0nnCk,(1+ω)n=∑k=0nnCkωk,(1+ω2)n=∑k=0nnCkω2k\displaystyle 2^{n}=(1+1)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}C_{k},\quad (1+\omega)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\omega^{k},\quad (1+\omega^{2})^{n}=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\omega^{2k}

+5점 · (1-1)를 적용하여 식을 완성

따라서2n+(1+ω)n+(1+ω2)n3=13(∑k=0nnCk+∑k=0nnCkωk+∑k=0nnCkω2k)=∑k=0nnCk(1+ωk+ω2k3)((1−1)의 결과를 적용)=nC0+nC3+nC6+⋯+nC3m=an\displaystyle \begin{aligned} \frac{2^{n}+(1+\omega)^{n}+(1+\omega^{2})^{n}}{3} &=\frac{1}{3}\left(\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}+\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\omega^{k}+\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\omega^{2k}\right) \\\\ &=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{1+\omega^{k}+\omega^{2k}}{3}\right)\quad((1-1)\text{의 결과를 적용}) \\\\ &={}_{n}\mathrm{C}_{0}+{}_{n}\mathrm{C}_{3}+{}_{n}\mathrm{C}_{6}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{3m} \\\\ &=a_{n} \end{aligned}

+5점 · 1+ω+ω2=0\displaystyle 1+\omega+\omega^{2}=0 임과 (1-2)의 결과를 이용하여 an−2n3\displaystyle a_{n}-\frac{2^{n}}{3}를 정확하게 계산하고 3의 배수일 때, (1-1)의 결과 1+ωn+ω2n=3\displaystyle 1+\omega^{n}+\omega^{2n}=3를 적용하여 답을 구함

(1-3) 1+ω+ω2=0\displaystyle 1+\omega+\omega^{2}=0이므로 (1-2)번의 결과에 의해서 다음과 같이 계산할 수 있다.an−2n3=(1+ω)n+(1+ω2)n3=(−ω2)n+(−ω)n3=(−1)n(ω2n+ωn3)=(−1)n(1+ωn+ω2n3−13)\displaystyle \begin{aligned} a_{n}-\frac{2^{n}}{3} &=\frac{(1+\omega)^{n}+(1+\omega^{2})^{n}}{3} \\\\ &=\frac{(-\omega^{2})^{n}+(-\omega)^{n}}{3} \\\\ &=(-1)^{n}\left(\frac{\omega^{2n}+\omega^{n}}{3}\right) \\\\ &=(-1)^{n}\left(\frac{1+\omega^{n}+\omega^{2n}}{3}-\frac{1}{3}\right) \end{aligned}n\displaystyle n이 3의 배수일 때, (1-1)번의 결과에 의해 1+ωn+ω2n=3\displaystyle 1+\omega^{n}+\omega^{2n}=3이므로,∣an−2n3∣=23\displaystyle \left|a_{n}-\frac{2^{n}}{3}\right|=\frac{2}{3}

+5점 · 1+ω+ω2=0\displaystyle 1+\omega+\omega^{2}=0 임과 (1-2)의 결과를 이용하여 an−2n3\displaystyle a_{n}-\frac{2^{n}}{3}를 정확하게 계산하고 3의 배수가 아닐 때, (1-1)의 결과 1+ωn+ω2n=0\displaystyle 1+\omega^{n}+\omega^{2n}=0를 적용하여 답을 구함

(1-4) 1+ω+ω2=0\displaystyle 1+\omega+\omega^{2}=0이므로 (1-2)번의 결과에 의해서 다음과 같이 계산할 수 있다.an−2n3=(1+ω)n+(1+ω2)n3=(−ω2)n+(−ω)n3=(−1)n(ω2n+ωn3)=(−1)n(1+ωn+ω2n3−13)\displaystyle \begin{aligned} a_{n}-\frac{2^{n}}{3} &=\frac{(1+\omega)^{n}+(1+\omega^{2})^{n}}{3} \\\\ &=\frac{(-\omega^{2})^{n}+(-\omega)^{n}}{3} \\\\ &=(-1)^{n}\left(\frac{\omega^{2n}+\omega^{n}}{3}\right) \\\\ &=(-1)^{n}\left(\frac{1+\omega^{n}+\omega^{2n}}{3}-\frac{1}{3}\right) \end{aligned}n\displaystyle n이 3의 배수가 아닐 때, (1-1)번의 결과에 의해 1+ωn+ω2n=0\displaystyle 1+\omega^{n}+\omega^{2n}=0이므로,∣an−2n3∣=13\displaystyle \left|a_{n}-\frac{2^{n}}{3}\right|=\frac{1}{3}

이항정리 및 이항계수의 기본 성질의 이해능력

논제에서 요구하는 사항을 정확히 이해하고 기존 지식, 제시문의 내용, 그리고 앞의 문제의 결과 등을 바탕으로 논제의 답을 논리적으로 서술하는 능력

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