자연계열 (오후) 4번

(4-1) 원소의 개수가 $\displaystyle 4$이고, 원소의 합이 $\displaystyle 13$인 $\displaystyle \mathbb N$의 부분집합은 다음과 같다.$\displaystyle \{1,2,3,7\}\qquad\{1,2,4,6\}\qquad\{1,3,4,5\}$원소의 개수가 $\displaystyle 4$이고, 원소의 합이 $\displaystyle 15$인 $\displaystyle \mathbb N$의 부분집합은 다음과 같다.$\displaystyle \{1,2,3,9\}\quad\{1,2,4,8\}\quad\{1,2,5,7\}\quad\{1,3,4,7\}\quad\{1,3,5,6\}\quad\{2,3,4,6\}$따라서 $\displaystyle a_{13}=3$이고, $\displaystyle a_{15}=6$이다.

(4-2) 자연수 $\displaystyle 4$를 $\displaystyle 4$ 이하인 자연수로 분할하는 경우는 다음과 같다.$\displaystyle 4\qquad3+1\qquad2+2\qquad2+1+1\qquad1+1+1+1$자연수 $\displaystyle 6$를 $\displaystyle 4$ 이하인 자연수로 분할하는 경우는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{lll}4+2&4+1+1&3+3\\3+2+1&3+1+1+1&2+2+2\\2+2+1+1&2+1+1+1+1&1+1+1+1+1+1\end{array}$따라서 $\displaystyle b_4=5$이고, $\displaystyle a_6=9$이다.Correction. $\displaystyle a_6=9$는 $\displaystyle b_6=9$의 오기이다. 바로 위에 나열한 아홉 가지는 자연수 6을 4 이하의 자연수로 분할하는 경우이다.

(4-3) 제시문(나)에 의해 자연수 분할을 그림으로 표현하여 가로와 세로를 바꾸어 생각하면, 자연수 $\displaystyle n$을 $\displaystyle 4$ 이하인 자연수로 분할하는 것은 자연수 $\displaystyle n$을 $\displaystyle 4$개 이하의 자연수로 분할하는 것과 대응이 된다.따라서 $\displaystyle b_n$은 다음의 경우의 합으로 표시할 수 있다.(i) 자연수 $\displaystyle n$을 $\displaystyle 1$개의 자연수로 분할하는 경우의 수: $\displaystyle P(n,1)$(ii) 자연수 $\displaystyle n$을 $\displaystyle 2$개의 자연수로 분할하는 경우의 수: $\displaystyle P(n,2)$(iii) 자연수 $\displaystyle n$을 $\displaystyle 3$개의 자연수로 분할하는 경우의 수: $\displaystyle P(n,3)$(iv) 자연수 $\displaystyle n$을 $\displaystyle 4$개의 자연수로 분할하는 경우의 수: $\displaystyle P(n,4)$그러므로 $\displaystyle b_n=P(n,1)+P(n,2)+P(n,3)+P(n,4)$이 성립한다.

(4-4) $\displaystyle a_{n+10}$은 원소의 개수가 $\displaystyle 4$이고, 원소의 합이 $\displaystyle n+10$인 $\displaystyle \mathbb N$의 부분집합의 개수이다.이것은 자연수 $\displaystyle n+10$을 서로 다른 $\displaystyle 4$개의 자연수 $\displaystyle n_1+n_2+n_3+n_4$로 분할하는 것의 개수와 같다.$\displaystyle n+10=n_1+n_2+n_3+n_4,\qquad n_1>n_2>n_3>n_4\ge1$다음과 같이 $\displaystyle m_1,m_2,m_3,m_4$를 정의하자.$\displaystyle m_1=n_1-4\qquad m_2=n_2-3\qquad m_3=n_3-2\qquad m_4=n_4-1$이때 $\displaystyle m_1+m_2+m_3+m_4$는 자연수 $\displaystyle n$을 $\displaystyle 4$개 이하의 자연수로 분할하는 것의 개수이다.$\displaystyle n=m_1+m_2+m_3+m_4,\qquad m_1\ge m_2\ge m_3\ge m_4\ge0$따라서 다음이 성립한다.$\displaystyle a_{n+10}=P(n,1)+P(n,2)+P(n,3)+P(n,4)$(4-3)번의 결과에 의해 $\displaystyle a_{n+10}=b_n$이 성립한다.Correction. 예시답안의 “분할하는 것의 개수이다”는 “한 분할을 나타낸다”의 오기이다. $\displaystyle m_1+m_2+m_3+m_4$는 한 분할을 나타내며, 두 종류의 분할 사이에 제시된 일대일대응과 마지막 등식은 옳다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.