자연계열 (오후) 2번

인하대 2017학년도 수시 오후 자연계열 (오후) 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2017su_pm/jayeon_pm_2

(가) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 연속이고, $\displaystyle x$ 가 증가하면서 $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서 $\displaystyle f(x)$ 가 증가하다가 감소하면 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극대라 하며, 함숫값 $\displaystyle f(a)$ 를 극댓값이라 한다. 또 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=b$ 에서 연속이고, $\displaystyle x$ 가 증가하면서 $\displaystyle x=b$ 의 좌우에서 $\displaystyle f(x)$ 가 감소하다가 증가하면 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=b$ 에서 극소라 하며, 함숫값 $\displaystyle f(b)$ 를 극솟값이라 한다. 이때 극댓값과 극솟값을 모두 극값이라 한다.

(나) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 미분가능하고 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 일 때, $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가• 양에서 음으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극대이고, 극댓값 $\displaystyle f(a)$ 를 가진다.• 음에서 양으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극소이고, 극솟값 $\displaystyle f(a)$ 를 가진다.

(※) 상수 $\displaystyle a,b$ 에 대하여 4차 함수 $\displaystyle f(x)$ 를 $\displaystyle f(x)=x^4-2(a+b)x^3+6abx^2+2a^2b^2x$ 라 하자.

(2-1) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 단 하나의 극값을 갖도록 하는 $\displaystyle a,b$ 의 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$ 가 나타내는 영역을 좌표평면 위에 나타내시오. (15점)

(2-2) 집합 $\displaystyle \{\alpha\mid f(x)$ 는 $\displaystyle x=\alpha$ 에서 극값을 가진다 $\displaystyle \}$ 의 원소가 서로 다른 세 음수이고, 두 수 $\displaystyle 2a,2b$ 가 정수인 $\displaystyle a,b\ (a<b)$ 의 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$ 를 모두 구하시오. (10점)

해설강의 준비중

인하대 2017학년도 수시 오후 자연계열 (오후) 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2017su_pm/jayeon_pm_2

2 ·

\displaystyle f^{\prime}(x),f^{\prime\prime}(x)

를 구하면 2점

(2-1) $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x^3-6(a+b)x^2+12abx+2a^2b^2,\quad f^{\prime\prime}(x)=12(x-a)(x-b)$ 이다.

5 ·

\displaystyle f^{\prime}(a),f^{\prime}(b)\ge0

또는

\displaystyle f^{\prime}(a),f^{\prime}(b)\le0

영역을 그림으로 설명하면 5점

따라서, $\displaystyle a=b$ 이면 극값을 갖지 않고, $\displaystyle a\ne b$ 이면 $\displaystyle x=a$ 와 $\displaystyle x=b$ 에서 극값을 갖는다. 그러므로, $\displaystyle f(x)$ 가 단 하나의 극값을 가지려면, $\displaystyle f^{\prime}(a),f^{\prime}(b)\ge0$ 또는 $\displaystyle f^{\prime}(a),f^{\prime}(b)\le0$ 이어야 한다. 즉, 다음과 같은 경우가 된다.

3 ·

\displaystyle f^{\prime}(a),f^{\prime}(b)

의 값을 구하면 3점

$\displaystyle f^{\prime}(a)=2a^2(-a+3b+b^2),\ f^{\prime}(b)=2b^2(-b+3a+a^2)$ 이므로,

5 · 좌표평면에 주어진 영역을 나타내면 5점

구하는 영역은 아래의 빗금 친 부분이다.

2 · 주어진 조건을 만족하는 영역을 좌표평면에 나타내면 2점

(2-2) $\displaystyle f^{\prime}(0)\ge0$ 이므로, 문제의 조건이 성립하는 것은 $\displaystyle a<b<0$ 이고 $\displaystyle f^{\prime}(a)>0,f^{\prime}(b)<0$ 일 때이다.

8 · 순서쌍 1개당 2점

따라서, 구하는 순서쌍은 $\displaystyle (-2.5,-1),\ (-2.5,-0.5),\ (-2,-0.5),\ (-1.5,-0.5)$ 이다.

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