자연계열 (오후) 2번

(2-1) $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x^3-6(a+b)x^2+12abx+2a^2b^2,\quad f^{\prime\prime}(x)=12(x-a)(x-b)$이다. 따라서, $\displaystyle a=b$이면 극값을 갖지 않고, $\displaystyle a\ne b$이면 $\displaystyle x=a$와 $\displaystyle x=b$에서 극값을 갖는다. 그러므로, $\displaystyle f(x)$가 단 하나의 극값을 가지려면, $\displaystyle f^{\prime}(a),f^{\prime}(b)\ge0$ 또는 $\displaystyle f^{\prime}(a),f^{\prime}(b)\le0$이어야 한다. 즉, 다음과 같은 경우가 된다.

$\displaystyle f^{\prime}(a)=2a^2(-a+3b+b^2),\ f^{\prime}(b)=2b^2(-b+3a+a^2)$이므로, 구하는 영역은 아래의 빗금 친 부분이다.

(2-2) $\displaystyle f^{\prime}(0)\ge0$이므로, 문제의 조건이 성립하는 것은 $\displaystyle a<b<0$이고 $\displaystyle f^{\prime}(a)>0,f^{\prime}(b)<0$일 때이다.

따라서, 구하는 순서쌍은 $\displaystyle (-2.5,-1),\ (-2.5,-0.5),\ (-2,-0.5),\ (-1.5,-0.5)$이다.