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자연계열 (오후) 1번

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인하대 2017학년도 수시 오후 자연계열 (오후) 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2017su_pm/jayeon_pm_1

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문제

(가) 양의 실수 a\displaystyle a에 대하여 a+1a≥2\displaystyle a+\frac1a\ge2이다.

(나) 어떤 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 모든 자연수 n≥2\displaystyle n\ge2에 대하여 성립함을 증명할 때, 수학적 귀납법을 이용하려면 다음 두 가지를 보여야 한다.(i) n=2\displaystyle n=2일 때, 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다.(ii) n=k≥2\displaystyle n=k\ge2일 때, 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다고 가정하면 n=k+1\displaystyle n=k+1일 때도 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다.

(※) 모든 항이 양수인 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}이 다음 부등식을 만족한다.an+1≥nanan2+n−1(n=1,2,3,…)\displaystyle a_{n+1}\ge\frac{na_n}{a_n^2+n-1}\quad(n=1,2,3,\ldots)

(1-1) 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보이시오. (6점)nan+1−n−1an≤an\displaystyle \frac n{a_{n+1}}-\frac{n-1}{a_n}\le a_n

(1-2) 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보이시오. (7점)a1+a2+⋯+an≥nan+1\displaystyle a_1+a_2+\cdots+a_n\ge\frac n{a_{n+1}}

(1-3) 수학적 귀납법을 이용하여, 모든 자연수 n≥2\displaystyle n\ge2에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보이시오. (12점)a1+a2+⋯+an≥n\displaystyle a_1+a_2+\cdots+a_n\ge n

해설강의 준비중

인하대 2017학년도 수시 오후 자연계열 (오후) 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2017su_pm/jayeon_pm_1

6 · 간단한 대수적 조작으로 올바른 답을 구하면 6점

(1-1) 주어진 부등식으로부터,1an+1≤an2+n−1nan⇒nan+1≤an+n−1an⇒nan+1−n−1an≤an\displaystyle \begin{aligned}\frac1{a_{n+1}}\le\frac{a_n^2+n-1}{na_n}\Rightarrow\frac n{a_{n+1}}&\le a_n+\frac{n-1}{a_n}\\\Rightarrow\frac n{a_{n+1}}-\frac{n-1}{a_n}&\le a_n\end{aligned}

7 · 간단한 대수적 조작으로 올바른 답을 구하면 7점

(1-2)a1+a2+⋯+an≥(1a2−0a1)+(2a3−1a2)+⋯+(nan+1−n−1an)((1-1)에 의해)=nan+1\displaystyle \begin{aligned}a_1+a_2+\cdots+a_n&\ge\left(\frac1{a_2}-\frac0{a_1}\right)+\left(\frac2{a_3}-\frac1{a_2}\right)+\cdots+\left(\frac n{a_{n+1}}-\frac{n-1}{a_n}\right)\quad\text{((1-1)에 의해)}\\&=\frac n{a_{n+1}}\end{aligned}

3 · 수학적 귀납법의 올바른 구성하고 (i) ak+1≥1\displaystyle a_{k+1}\ge1인 경우를 보이면 3점

(1-3) (1) n=2\displaystyle n=2일 때,a1+a2≥a1+1a1((1-1)에 의해)≥2(제시문(가)에 의해)\displaystyle \begin{aligned}a_1+a_2&\ge a_1+\frac1{a_1}\quad\text{((1-1)에 의해)}\\&\ge2\quad\text{(제시문(가)에 의해)}\end{aligned}(2) a1+⋯+ak≥k\displaystyle a_1+\cdots+a_k\ge k라 가정하자.(i) ak+1≥1\displaystyle a_{k+1}\ge1이면 자명하다:a1+a2+⋯+ak+ak+1≥k+1\displaystyle a_1+a_2+\cdots+a_k+a_{k+1}\ge k+1

9 · (ii) ak+1<1\displaystyle a_{k+1}<1인 경우를 보이면 9점

(ii) ak+1<1\displaystyle a_{k+1}<1이면,a1+⋯+ak+ak+1≥kak+1+ak+1((1-2)에 의해)=k−1ak+1+(1ak+1+ak+1)>k−1+2=k+1(제시문(가)에 의해)\displaystyle \begin{aligned}a_1+\cdots+a_k+a_{k+1}&\ge\frac k{a_{k+1}}+a_{k+1}\quad\text{((1-2)에 의해)}\\&=\frac{k-1}{a_{k+1}}+\left(\frac1{a_{k+1}}+a_{k+1}\right)\\&>k-1+2=k+1\quad\text{(제시문(가)에 의해)}\end{aligned}

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