자연계열 3번

(3-1) 조건 $\displaystyle p$의 진리집합이 공집합이려면 $\displaystyle b-a\le a-b$이어야 한다.따라서, 구하는 부등식은 $\displaystyle a\ge b$이다.

(3-2) 조건 $\displaystyle p$의 진리집합을 $\displaystyle P$, 조건 $\displaystyle r$의 진리집합을 $\displaystyle R$이라 하면, $\displaystyle P\subset R$인 경우는 다음 세 가지 경우 중의 하나가 성립할 때이다.(1) $\displaystyle P=\varnothing$인 경우: $\displaystyle a\ge b$인 경우이다.(2) $\displaystyle R$이 실수 전체의 집합인 경우: $\displaystyle b-2\ge a+1$. 즉, $\displaystyle b\ge a+3$인 경우이다.(3) $\displaystyle P=(a-b,b-a),\ R=(-\infty,b-2]\cup[a+1,\infty)$이고, $\displaystyle b-a\le b-2$ 또는 $\displaystyle a-b\ge a+1$인 경우: $\displaystyle a\ge2$ 또는 $\displaystyle b\le-1$인 경우이다.

$\displaystyle p\to r$이 거짓인 경우는 $\displaystyle (a,b)$가 위 그림에서 사다리꼴 내부에 있을 때이다.따라서, 구하는 순서쌍은 $\displaystyle (-2,0),\ (-1,0),\ (-1,1),\ (0,1),\ (0,2),\ (1,2),\ (1,3)$이다.

(3-3) 조건 $\displaystyle q$의 진리집합을 $\displaystyle Q$라고 하면, 정수 $\displaystyle a<b$에 대하여 $\displaystyle Q=\{x\mid x$는 정수이고 $\displaystyle a-b+1\le x\le b-a-1\}$이다.한편, 모든 정수가 $\displaystyle R$의 원소인 것은 $\displaystyle (b-2)+1\ge a+1$, 즉, $\displaystyle b\ge a+2$일 때이다.따라서, $\displaystyle Q\subset R$인 경우는 다음 세 가지 경우 중 하나가 성립할 때이다.(1) $\displaystyle a\ge b$,　(2) $\displaystyle b\ge a+2$,　(3) $\displaystyle b-a-1\le b-2$ 또는 $\displaystyle a-b+1\ge a+1$

즉, 구하려는 순서쌍은 (1) $\displaystyle a<b$, (2) $\displaystyle b<a+2$, (3) $\displaystyle a<1$이고 $\displaystyle b>0$을 모두 만족해야 한다.(3-2)에서 구한 순서쌍 중 이 세 조건을 모두 만족하는 것은 $\displaystyle (0,1)$뿐이다.