자연계열 2번

인하대 2017학년도 수시 오전 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2017su_am/jayeon_2

(가) 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점은 평면을 결정한다.

(나) 직선 $\displaystyle \ell$ 이 평면 $\displaystyle \alpha$ 위의 서로 다른 두 직선 $\displaystyle m,n$ 의 교점 $\displaystyle O$ 를 지나고 $\displaystyle m,n$ 과 각각 수직이면 직선 $\displaystyle \ell$ 은 평면 $\displaystyle \alpha$ 에 수직이다.

(다) 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 있지 않은 한 점 $\displaystyle P$ 와 평면 $\displaystyle \alpha$ 위의 직선 $\displaystyle \ell$ , 직선 $\displaystyle \ell$ 위의 한 점 $\displaystyle H$ , 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 있으면서 직선 $\displaystyle \ell$ 위에 있지 않은 점 $\displaystyle O$ 에 대하여 다음의 성질이 성립한다. 이를 삼수선의 정리라고 한다.(1) $\displaystyle \overline{PO}\perp\alpha,\ \overline{OH}\perp\ell$ 이면 $\displaystyle \overline{PH}\perp\ell$ 이다.(2) $\displaystyle \overline{PO}\perp\alpha,\ \overline{PH}\perp\ell$ 이면 $\displaystyle \overline{OH}\perp\ell$ 이다.(3) $\displaystyle \overline{PH}\perp\ell,\ \overline{OH}\perp\ell,\ \overline{PO}\perp\overline{OH}$ 이면 $\displaystyle \overline{PO}\perp\alpha$ 이다.

(※) 평면 $\displaystyle \alpha$ 와 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 있지 않은 두 점 $\displaystyle P,Q$ 가 주어졌다. (단, 직선 $\displaystyle PQ$ 는 $\displaystyle \alpha$ 와 수직이 아니다.) 점 $\displaystyle P$ 를 지나고 직선 $\displaystyle PQ$ 에 수직인 평면을 $\displaystyle \alpha^{\prime}$ 라 두고 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \alpha^{\prime}$ 의 교선을 $\displaystyle \ell$ 이라 하자. 점 $\displaystyle Q$ 에서 $\displaystyle \alpha$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle R$ 이라 하고, $\displaystyle R$ 에서 $\displaystyle \ell$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle S$ 라 하자.

(2-1) 선분 $\displaystyle PS$ 와 $\displaystyle \ell$ 이 수직임을 보이시오. (5점)

(2-2) 네 점 $\displaystyle P,Q,R,S$ 는 같은 평면에 있음을 보이시오. (10점)

(2-3) 좌표공간의 점 $\displaystyle P,Q$ 에 대하여 $\displaystyle Q$ 의 좌표가 $\displaystyle (2,3,4)$ 이고, $\displaystyle \alpha$ 가 $\displaystyle xy$ 평면이라 하자. 직선 $\displaystyle \ell$ 의 방정식이 $\displaystyle x+2y=6,\ z=0$ 일 때, $\displaystyle \triangle PRS$ 의 외접원의 반지름을 구하시오. (10점)

해설강의 준비중

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아래 그림을 생각하자.

5 · 삼수선이 정리를 이용하여

\displaystyle \overline{QS}\perp\ell

와

\displaystyle \overline{PS}\perp\ell

임을 보이면 5점. (

\displaystyle \overline{QS}\perp\ell

만 보인 경우는 2점)

(2-1) $\displaystyle \overline{QR}\perp\alpha,\ \overline{RS}\perp\ell$ 이므로 삼수선의 정리에 의해 $\displaystyle \overline{QS}\perp\ell$ 이다. $\displaystyle \overline{PQ}\perp\alpha^{\prime},\ \overline{QS}\perp\ell$ 이므로 삼수선의 정리에 의해 $\displaystyle \overline{PS}\perp\ell$ 이다.

3 · 네 점이 평면위에 있다는 설정을 제시하면 3점

(2-2) 점 $\displaystyle Q,R,S$ 를 포함하는 평면을 $\displaystyle \beta$ 라 하고, 점 $\displaystyle Q,P,S$ 를 포함하는 평면을 $\displaystyle \gamma$ 라 한 후 $\displaystyle \beta=\gamma$ 임을 보이자. (제시문-(가)에 의해 이러한 평면이 존재한다.)

7 · 제시문(나)를 이용하여 두 평면이 같음을 보이면 7점

$\displaystyle \ell\perp\overline{RS},\ \ell\perp\overline{QS}$ 이므로 제시문(나)에 의해 $\displaystyle \ell\perp\beta$ 이다. 즉 $\displaystyle \beta$ 는 $\displaystyle \ell$ 과 수직이고 $\displaystyle S$ 를 지난다. 같은 방법으로 $\displaystyle \ell\perp\overline{PS},\ \ell\perp\overline{QS}$ 이므로 $\displaystyle \ell\perp\gamma$ 이다. 즉 $\displaystyle \gamma$ 는 $\displaystyle \ell$ 과 수직이고 $\displaystyle S$ 를 지난다. $\displaystyle \therefore\ \beta=\gamma$

4 ·

\displaystyle P,Q,R,S

가

\displaystyle \overline{QS}

를 지름으로 하는 원에 놓여있고 이 원이

\displaystyle \triangle PRS

의 외접원임을 보이면 4점

(2-3) 사각형 $\displaystyle PQRS$ 에서 $\displaystyle \angle QPS=\angle QRS$ 가 직각이다. 따라서 $\displaystyle P,Q,R,S$ 는 $\displaystyle \overline{QS}$ 를 지름으로 하는 원에 놓여 있고, 이 원이 $\displaystyle \triangle PRS$ 의 외접원이다.

6 · 평면의 점

\displaystyle R(2,3,0)

에서 직선

\displaystyle \ell

까지의 거리를 구하고 반지름을 구하면 6점

여기서 $\displaystyle Q(2,3,4)$ 이므로 $\displaystyle R(2,3,0)$ 이다. $\displaystyle xy$ 평면의 점 $\displaystyle (2,3,0)$ 에서 직선 $\displaystyle x+2y=6$ 에 이르는 거리는 $\displaystyle \overline{RS}=\frac2{\sqrt5}$ 이다. $\displaystyle \therefore\ \overline{QS}=\sqrt{\frac{84}5}$ 이고 구하는 반지름은 $\displaystyle \frac{\sqrt{105}}5$ 이다.

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