자연계열 2번

(2-1) $\displaystyle \overline{QR}\perp\alpha,\ \overline{RS}\perp\ell$이므로 삼수선의 정리에 의해 $\displaystyle \overline{QS}\perp\ell$이다. $\displaystyle \overline{PQ}\perp\alpha^{\prime},\ \overline{QS}\perp\ell$이므로 삼수선의 정리에 의해 $\displaystyle \overline{PS}\perp\ell$이다.

(2-2) 점 $\displaystyle Q,R,S$를 포함하는 평면을 $\displaystyle \beta$라 하고, 점 $\displaystyle Q,P,S$를 포함하는 평면을 $\displaystyle \gamma$라 한 후 $\displaystyle \beta=\gamma$임을 보이자. (제시문-(가)에 의해 이러한 평면이 존재한다.)$\displaystyle \ell\perp\overline{RS},\ \ell\perp\overline{QS}$이므로 제시문(나)에 의해 $\displaystyle \ell\perp\beta$이다. 즉 $\displaystyle \beta$는 $\displaystyle \ell$과 수직이고 $\displaystyle S$를 지난다. 같은 방법으로 $\displaystyle \ell\perp\overline{PS},\ \ell\perp\overline{QS}$이므로 $\displaystyle \ell\perp\gamma$이다. 즉 $\displaystyle \gamma$는 $\displaystyle \ell$과 수직이고 $\displaystyle S$를 지난다. $\displaystyle \therefore\ \beta=\gamma$

(2-3) 사각형 $\displaystyle PQRS$에서 $\displaystyle \angle QPS=\angle QRS$가 직각이다. 따라서 $\displaystyle P,Q,R,S$는 $\displaystyle \overline{QS}$를 지름으로 하는 원에 놓여 있고, 이 원이 $\displaystyle \triangle PRS$의 외접원이다. 여기서 $\displaystyle Q(2,3,4)$이므로 $\displaystyle R(2,3,0)$이다. $\displaystyle xy$평면의 점 $\displaystyle (2,3,0)$에서 직선 $\displaystyle x+2y=6$에 이르는 거리는 $\displaystyle \overline{RS}=\frac2{\sqrt5}$이다.$\displaystyle \therefore\ \overline{QS}=\sqrt{\frac{84}5}$이고 구하는 반지름은 $\displaystyle \frac{\sqrt{105}}5$이다.