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자연계열 (오후) 3번

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인하대 2017학년도 수시 오후 자연계열 (오후) 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2017su_pm/jayeon_pm_3

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문제

(가) 공간 상의 세 점 O,A,B\displaystyle O,A,B에 대하여 벡터 OA→=a⃗,OB→=b⃗\displaystyle \overrightarrow{OA}=\vec a,\overrightarrow{OB}=\vec b라 할 때, 벡터 AB→\displaystyle \overrightarrow{AB}는 b⃗−a⃗\displaystyle \vec b-\vec a로 나타낼 수 있다. 또한, 선분 AB\displaystyle AB를 m:n (m>0,n>0)\displaystyle m:n\ (m>0,n>0)으로 내분하는 점 P\displaystyle P에 대하여 벡터 OP→\displaystyle \overrightarrow{OP}는 다음과 같이 나타낼 수 있다.OP→=mb⃗+na⃗m+n\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{m\vec b+n\vec a}{m+n}따라서, 선분 AB\displaystyle AB 위의 임의의 점 P\displaystyle P에 대하여 벡터 OP→\displaystyle \overrightarrow{OP}는 다음과 같이 나타낼 수 있다.OP→=ta⃗+(1−t)b⃗(0≤t≤1)\displaystyle \overrightarrow{OP}=t\vec a+(1-t)\vec b\quad(0\le t\le1)

(나) 영 벡터가 아닌 두 벡터가 수직일 필요충분조건은 두 벡터의 내적이 0\displaystyle 0인 것이다. 한편, 벡터의 내적은 다음과 같이 분배법칙을 만족한다.a⃗⋅(b⃗+c⃗)=a⃗⋅b⃗+a⃗⋅c⃗\displaystyle \vec a\cdot(\vec b+\vec c)=\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c

(※) 그림과 같이 직육면체에서 OA‾=OB‾=1\displaystyle \overline{OA}=\overline{OB}=1이고 OC‾=2\displaystyle \overline{OC}=2이다. 직선 AB\displaystyle AB 위의 점 X\displaystyle X, 직선 OD\displaystyle OD 위의 점 Y\displaystyle Y에 대하여, 벡터 XY→\displaystyle \overrightarrow{XY}가 두 벡터 AB→\displaystyle \overrightarrow{AB}와 OD→\displaystyle \overrightarrow{OD}에 수직이다.

직육면체의 두 직선 AB OD와 공통 수선 XY

(3-1) OA→=a⃗,OB→=b⃗,OC→=c⃗\displaystyle \overrightarrow{OA}=\vec a,\overrightarrow{OB}=\vec b,\overrightarrow{OC}=\vec c라 하자. 두 벡터 OX→\displaystyle \overrightarrow{OX}와 OY→\displaystyle \overrightarrow{OY}를OX→=ta⃗+(1−t)b⃗,OY→=sOD→=s(b⃗+c⃗)\displaystyle \overrightarrow{OX}=t\vec a+(1-t)\vec b,\quad\overrightarrow{OY}=s\overrightarrow{OD}=s(\vec b+\vec c)로 나타낼 때, 실수 t\displaystyle t와 s\displaystyle s의 값을 구하시오. (10점)

(3-2) 선분 XY\displaystyle XY의 길이를 구하시오. (5점)

(3-3) 직선 ℓ\displaystyle \ell은 밑면 OAEB\displaystyle OAEB를 포함하는 평면에 놓여 있고, X\displaystyle X를 지나며 직선 AB\displaystyle AB와 수직이다. 점 Y\displaystyle Y와 ℓ\displaystyle \ell을 포함하는 평면이 주어진 직육면체를 자르는 단면의 넓이를 구하시오. (10점)

해설강의 준비중

인하대 2017학년도 수시 오후 자연계열 (오후) 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2017su_pm/jayeon_pm_3

10 · 수직관계를 보이는 과정에 벡터의 내적을 이용하여 계산하면 5점, 나머지 계산부분 5점

(3-1) XY→=−ta⃗+(s−1+t)b⃗+sc⃗\displaystyle \overrightarrow{XY}=-t\vec a+(s-1+t)\vec b+s\vec c이고 AB→\displaystyle \overrightarrow{AB}와 OD→\displaystyle \overrightarrow{OD}에 수직이므로(1) XY→⋅AB→=0\displaystyle \overrightarrow{XY}\cdot\overrightarrow{AB}=0:(−ta⃗+(s−1+t)b⃗+sc⃗)⋅(b⃗−a⃗)=0\displaystyle (-t\vec a+(s-1+t)\vec b+s\vec c)\cdot(\vec b-\vec a)=0으로부터 (s−1+t)+t=0\displaystyle (s-1+t)+t=0이므로2t+s−1=0\displaystyle 2t+s-1=0(2) XY→⋅OD→=0\displaystyle \overrightarrow{XY}\cdot\overrightarrow{OD}=0:(−ta⃗+(s−1+t)b⃗+sc⃗)⋅(b⃗+c⃗)=0\displaystyle (-t\vec a+(s-1+t)\vec b+s\vec c)\cdot(\vec b+\vec c)=0으로부터 (s−1+t)+4s=0\displaystyle (s-1+t)+4s=0이므로t+5s−1=0\displaystyle t+5s-1=0(1), (2)의 연립방정식을 풀면, s=19, t=49\displaystyle s=\frac19,\ t=\frac49이다.

5 · XY→\displaystyle \overrightarrow{XY}를 a⃗,b⃗,c⃗\displaystyle \vec a,\vec b,\vec c로 표현하면 3점, 벡터의 길이를 구하면 2점

(3-2) XY→=−49a⃗−49b⃗+19c⃗\displaystyle \overrightarrow{XY}=-\frac49\vec a-\frac49\vec b+\frac19\vec c이다. 이 벡터의 길이는 42+42+229=369=23\displaystyle \frac{\sqrt{4^2+4^2+2^2}}9=\frac{\sqrt{36}}9=\frac23이므로 답은 23\displaystyle \frac23이다.

5 · 주어진 평면이 OC,BD\displaystyle OC,BD에 평행함을 밝히면 5점

(3-3) 벡터 XY→\displaystyle \overrightarrow{XY}의 밑변으로의 사영은 AB\displaystyle AB와 수직이므로, 점 Y\displaystyle Y와 직선 ℓ\displaystyle \ell을 포함하는 평면은 변 OC,BD\displaystyle OC,BD 등과 평행하다.

5 · 넓이를 구하면 5점

따라서, 단면은 직사각형이 되고, 이것의 밑변의 길이는 892\displaystyle \frac89\sqrt2이고 높이는 2\displaystyle 2가 된다. 따라서, 넓이는 1692\displaystyle \frac{16}9\sqrt2이다.

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