자연계열 (오후) 3번

(3-1) $\displaystyle \overrightarrow{XY}=-t\vec a+(s-1+t)\vec b+s\vec c$이고 $\displaystyle \overrightarrow{AB}$와 $\displaystyle \overrightarrow{OD}$에 수직이므로(1) $\displaystyle \overrightarrow{XY}\cdot\overrightarrow{AB}=0$:$\displaystyle (-t\vec a+(s-1+t)\vec b+s\vec c)\cdot(\vec b-\vec a)=0$으로부터 $\displaystyle (s-1+t)+t=0$이므로$\displaystyle 2t+s-1=0$(2) $\displaystyle \overrightarrow{XY}\cdot\overrightarrow{OD}=0$:$\displaystyle (-t\vec a+(s-1+t)\vec b+s\vec c)\cdot(\vec b+\vec c)=0$으로부터 $\displaystyle (s-1+t)+4s=0$이므로$\displaystyle t+5s-1=0$(1), (2)의 연립방정식을 풀면, $\displaystyle s=\frac19,\ t=\frac49$이다.

(3-2) $\displaystyle \overrightarrow{XY}=-\frac49\vec a-\frac49\vec b+\frac19\vec c$이다. 이 벡터의 길이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{4^2+4^2+2^2}}9=\frac{\sqrt{36}}9=\frac23$이므로 답은 $\displaystyle \frac23$이다.

(3-3) 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{XY}$의 밑변으로의 사영은 $\displaystyle AB$와 수직이므로, 점 $\displaystyle Y$와 직선 $\displaystyle \ell$을 포함하는 평면은 변 $\displaystyle OC,BD$ 등과 평행하다. 따라서, 단면은 직사각형이 되고, 이것의 밑변의 길이는 $\displaystyle \frac89\sqrt2$이고 높이는 $\displaystyle 2$가 된다. 따라서, 넓이는 $\displaystyle \frac{16}9\sqrt2$이다.