자연계열 4번

(4-1) $\displaystyle f^{\prime}(x)\ge0$에서 $\displaystyle f(x)$는 증가함수이다. 따라서, $\displaystyle 0\le x\le3$인 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle 1=f(0)\le f(x)\le f(3)=2$이다. 이제 제시문(가)에 의하여$\displaystyle 1=\int_1^2 1\,dx\le\int_1^2 f(x)\,dx\le\int_1^2 2\,dx\le2$이다.

(4-2) $\displaystyle h(x)=e^{-x}g(x)$라 두고, 제시문(나)를 이용하면$\displaystyle h^{\prime}(x)=e^{-x}(g^{\prime}(x)-g(x))\ge0$이다.

따라서 $\displaystyle h(x)$는 증가함수이고, 모든 $\displaystyle x\ge0$에 대하여 $\displaystyle h(x)\ge h(0)=1$이다.그러므로 $\displaystyle g(x)=e^xh(x)\ge e^x$이다.

(4-3) (4-2)의 풀이과정에서 $\displaystyle h(x)=e^{-x}g(x)$는 증가함수이므로, $\displaystyle 0\le x\le3$일 때 $\displaystyle 1\le h(x)\le h(3)=e$이다. 따라서 $\displaystyle e^x\le g(x)\le e^{x+1}$이고 여기에 증가함수인 $\displaystyle \ln$를 적용하면, $\displaystyle x\le\ln g(x)\le x+1$이다.

이제 (4-1)에서와 같이 제시문(가)에 의하여$\displaystyle \frac32=\int_1^2 x\,dx\le\int_1^2\ln g(x)\,dx\le\int_1^2 x+1\,dx=\frac52$이다.