자연계열 2번

(2-1) 피보나치수열 $\displaystyle \{a_n\}$을 이용하면 다음 부등식을 얻을 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}&1+\left(\frac12\right)+\left(\frac13\right)+\left(\frac14+\frac15\right)+\left(\frac16+\frac17+\frac18\right)+\left(\frac19+\cdots+\frac1{13}\right)+\left(\frac1{14}+\cdots+\frac1{21}\right)+\cdots\\&>1+\frac12+\frac13+\frac25+\frac38+\frac5{13}+\frac8{21}+\cdots=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{a_{n+2}}\end{aligned}$

제시문 (가)에 의해서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}+a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac1{1+\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\frac1{1+\phi}\ne0$이므로 제시문 (다)에 의해서 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{a_{n+2}}$이 발산한다. 따라서 제시문 (라)에 의하여 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n$도 발산한다.

(2-2)(a)$\displaystyle OA=OB=OE=2$이고 $\displaystyle Q$는 $\displaystyle AQ=FQ$를 만족하는 $\displaystyle OE$의 중점이므로 $\displaystyle OQ=1$이고$\displaystyle \begin{aligned}\tan\theta&=\frac{OF}{AO}=\frac{OQ+QF}{AO}=\frac{OQ+AQ}{AO}\\&=\frac{OQ+\sqrt{AO^2+OQ^2}}{AO}=\frac{1+\sqrt{2^2+1}}2=\frac{1+\sqrt5}2=\phi\end{aligned}$

(2-2)(b) (10점)원뿔 $\displaystyle ABF$에서 $\displaystyle O$를 좌표평면의 원점, 직선 $\displaystyle AB$를 $\displaystyle x$축, 직선 $\displaystyle OF$를 $\displaystyle y$축이라 하자. $\displaystyle \overline{OF}=2\tan\theta=2\phi=2\frac{1+\sqrt5}2=1+\sqrt5$이다. $\displaystyle y=h$를 지나 $\displaystyle y$축에 수직인 평면으로 원뿔 $\displaystyle ABF$를 자른 단면을 $\displaystyle S(h)$라 하면 단면의 모양은 원이다. 이 원의 반지름의 길이를 $\displaystyle r$라 하면 비례식 $\displaystyle r:2=2\phi-h:2\phi$로부터 $\displaystyle r=\frac{4\phi-2h}{2\phi}=2-\frac1\phi h$이다.$\displaystyle \begin{aligned}V&=\int_0^2\pi\left(2-\frac1\phi h\right)^2\,dh=\pi\Biggl[\frac13\left(2-\frac1\phi h\right)^3(-\phi)\Biggr]_0^2\\&=-\frac{8\pi\phi}3\left(\left(1-\frac1\phi\right)^3-1\right)\\&=\frac{16}3(3-\sqrt5)\pi\end{aligned}$