자연계열 2번

(가) 피보나치수열 $\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,21,\ldots$은 다음과 같이 귀납적으로 정의된 수열이다.$\displaystyle a_1=1,\ a_2=1,\ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\ (n=1,2,3,\ldots)$피보나치수열에서 이웃하는 두 항 사이의 비 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$의 값을 차례로 구해보면, $\displaystyle n$이 한없이 커질 때, $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$의 값은 황금비 $\displaystyle \phi=\frac{1+\sqrt5}2$에 수렴함이 알려져 있다.

(나) 1350년 경 프랑스의 수학자 오렘은 다음과 같이 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n$을 1개, 2개, 4개, 8개, ...씩 괄호 ( )로 묶어서 부등식$\displaystyle 1+\left(\frac12\right)+\left(\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right)+\cdots>1+\frac12+\frac12+\frac12+\cdots$이 성립함을 보이고, 이를 이용하여 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n$이 발산함을 증명하였다.

(다) 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$이 수렴하면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0$이다. 즉 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n\ne0$이면 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$은 발산한다.

(라) $\displaystyle \{c_n\}$과 $\displaystyle \{d_n\}$은 모든 항이 양수인 수열이다. 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \sum_{k=1}^nc_k\le\sum_{k=1}^nd_k$이고 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}c_n$이 발산하면 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}d_n$도 발산한다.

(마) (입체도형의 부피) 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$의 임의의 점 $\displaystyle x$를 지나 $\displaystyle x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $\displaystyle S(x)$인 입체의 부피 $\displaystyle V$는$\displaystyle V=\int_a^bS(x)\,dx$　(단, $\displaystyle S(x)$는 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속)