자연계열 (오후2) 1번

(1-1) (15점) 주어진 등식의 양변을 미분하자. 제시문 (나)와 제시문 (다)에 의하여 다음을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=g^{\prime}(x)-\int_0^xf^{\prime}(t)\,dt-xf^{\prime}(x)+xf^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)-\int_0^xf^{\prime}(t)\,dt\\&=g^{\prime}(x)-f(x)+f(0)=g^{\prime}(x)-f(x)+g(0)\end{aligned}$

따라서 $\displaystyle \begin{aligned}\frac d{dx}(e^xf(x))&=e^xf(x)+e^xf^{\prime}(x)\\&=e^xf(x)+e^x\{g^{\prime}(x)-f(x)+g(0)\}=e^x\{g^{\prime}(x)+g(0)\}\end{aligned}$

(1-2) (15점) $\displaystyle g(x)=\frac{x\cos x}{e^x}$이므로 (1)번에서 주어진 등식과 제시문 (가)를 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}e^xf(x)&=\int e^x\{g^{\prime}(x)+g(0)\}\,dx+C=\int e^x\left\{\frac{(\cos x-x\sin x)e^x-x\cos xe^x}{e^{2x}}\right\}\,dx+C\\&=\int\cos x\,dx-\int x\sin x\,dx-\int x\cos x\,dx+C\end{aligned}$

여기서 제시문 (라)를 이용하면$\displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x$$\displaystyle \int x\sin x\,dx=-x\cos x+\int\cos x\,dx=-x\cos x+\sin x$$\displaystyle \int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x$

따라서 $\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=e^{-x}\{\sin x+x\cos x-\sin x-x\sin x-\cos x+C\}\\&=e^{-x}\{x\cos x-x\sin x-\cos x+C\}\end{aligned}$$\displaystyle 0=g(0)=f(0)=-1+C$로부터 $\displaystyle C=1$ 따라서 $\displaystyle f(x)=\frac{x\cos x-x\sin x-\cos x+1}{e^x}$