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자연계열 (오후2) 1번

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인하대 2018학년도 수시 자연계열 (오후2) 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2018su/jayeon_pm2_1

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문제

(가) (부정적분의 정의) F′(x)=f(x)\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)일 때, ∫f(x) dx=F(x)+C\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C (단, C\displaystyle C는 적분상수)

(나) (적분과 미분의 관계) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때,ddx∫axf(t) dt=f(x)\displaystyle \frac d{dx}\int_a^xf(t)\,dt=f(x)　(단, a<x<b\displaystyle a<x<b)

(다) (미적분의 기본 정리) 닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 한 부정적분을 F(x)\displaystyle F(x)라 할 때,∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\Biggl[F(x)\Biggr]_a^b=F(b)-F(a)

(※) 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여, 함수 f(x)\displaystyle f(x)와 함수 g(x)\displaystyle g(x)는 미분가능하고 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)와 g′(x)\displaystyle g^{\prime}(x)는 연속함수이다. 또한 f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x)는 다음 등식을 만족한다.f(x)=g(x)−∫0x(x−t)f′(t) dt\displaystyle f(x)=g(x)-\int_0^x(x-t)f^{\prime}(t)\,dt

(1-1) {exf(x)}′=ex{g′(x)+g(0)}\displaystyle \{e^xf(x)\}^{\prime}=e^x\{g^{\prime}(x)+g(0)\}이 성립함을 보이시오. (15점)

(1-2) 함수 g(x)=xcos⁡xex\displaystyle g(x)=\frac{x\cos x}{e^x}일 때, 함수 f(x)\displaystyle f(x)를 구하시오. (15점)

해설강의 준비중

논술 미분방정식

관련 개념강의 준비중

인하대 2018학년도 수시 자연계열 (오후2) 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2018su/jayeon_pm2_1

+5점 · f′(x)=g′(x)−∫0xf′(t) dt−xf′(x)+xf′(x)=g′(x)−∫0xf′(t) dt\displaystyle f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)-\int_0^xf^{\prime}(t)\,dt-xf^{\prime}(x)+xf^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)-\int_0^xf^{\prime}(t)\,dt
+5점 · =g′(x)−f(x)+f(0)=g′(x)−f(x)+g(0)\displaystyle =g^{\prime}(x)-f(x)+f(0)=g^{\prime}(x)-f(x)+g(0)

(1-1) (15점) 주어진 등식의 양변을 미분하자. 제시문 (나)와 제시문 (다)에 의하여 다음을 얻는다.f′(x)=g′(x)−∫0xf′(t) dt−xf′(x)+xf′(x)=g′(x)−∫0xf′(t) dt=g′(x)−f(x)+f(0)=g′(x)−f(x)+g(0)\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=g^{\prime}(x)-\int_0^xf^{\prime}(t)\,dt-xf^{\prime}(x)+xf^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)-\int_0^xf^{\prime}(t)\,dt\\&=g^{\prime}(x)-f(x)+f(0)=g^{\prime}(x)-f(x)+g(0)\end{aligned}

+5점 · 따라서 ddx(exf(x))=exf(x)+exf′(x)=exf(x)+ex{g′(x)−f(x)+g(0)}=ex{g′(x)+g(0)}\displaystyle \frac d{dx}(e^xf(x))=e^xf(x)+e^xf^{\prime}(x)=e^xf(x)+e^x\{g^{\prime}(x)-f(x)+g(0)\}=e^x\{g^{\prime}(x)+g(0)\}

따라서 ddx(exf(x))=exf(x)+exf′(x)=exf(x)+ex{g′(x)−f(x)+g(0)}=ex{g′(x)+g(0)}\displaystyle \begin{aligned}\frac d{dx}(e^xf(x))&=e^xf(x)+e^xf^{\prime}(x)\\&=e^xf(x)+e^x\{g^{\prime}(x)-f(x)+g(0)\}=e^x\{g^{\prime}(x)+g(0)\}\end{aligned}

+3점 · g(x)=xcos⁡xex\displaystyle g(x)=\frac{x\cos x}{e^x}이므로 (1)번에서 주어진 등식과 제시문 (가)를 이용하면 exf(x)=∫ex{g′(x)+g(0)} dx+C=∫cos⁡x dx−∫xsin⁡x dx−∫xcos⁡x dx+C\displaystyle e^xf(x)=\int e^x\{g^{\prime}(x)+g(0)\}\,dx+C=\int\cos x\,dx-\int x\sin x\,dx-\int x\cos x\,dx+C

(1-2) (15점) g(x)=xcos⁡xex\displaystyle g(x)=\frac{x\cos x}{e^x}이므로 (1)번에서 주어진 등식과 제시문 (가)를 이용하면exf(x)=∫ex{g′(x)+g(0)} dx+C=∫ex{(cos⁡x−xsin⁡x)ex−xcos⁡xexe2x} dx+C=∫cos⁡x dx−∫xsin⁡x dx−∫xcos⁡x dx+C\displaystyle \begin{aligned}e^xf(x)&=\int e^x\{g^{\prime}(x)+g(0)\}\,dx+C=\int e^x\left\{\frac{(\cos x-x\sin x)e^x-x\cos xe^x}{e^{2x}}\right\}\,dx+C\\&=\int\cos x\,dx-\int x\sin x\,dx-\int x\cos x\,dx+C\end{aligned}

+7점

Correction. 문제에 제시문 (라)는 없다. 여기서 사용하는 계산법은 부분적분법이다. 뒤의 적분 계산과 최종 답은 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

여기서 제시문 (라)를 이용하면∫cos⁡x dx=sin⁡x\displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x∫xsin⁡x dx=−xcos⁡x+∫cos⁡x dx=−xcos⁡x+sin⁡x\displaystyle \int x\sin x\,dx=-x\cos x+\int\cos x\,dx=-x\cos x+\sin x∫xcos⁡x dx=xsin⁡x−∫sin⁡x dx=xsin⁡x+cos⁡x\displaystyle \int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x

+4점 · 따라서 f(x)=e−x{sin⁡x+xcos⁡x−sin⁡x−xsin⁡x−cos⁡x+C}=e−x{xcos⁡x−xsin⁡x−cos⁡x+C}\displaystyle f(x)=e^{-x}\{\sin x+x\cos x-\sin x-x\sin x-\cos x+C\}=e^{-x}\{x\cos x-x\sin x-\cos x+C\} 0=g(0)=f(0)=−1+C\displaystyle 0=g(0)=f(0)=-1+C로부터 C=1\displaystyle C=1

Correction. 문제지에서 (1-2)는 15점이지만, 대학 채점표에 기재된 배점을 더하면 14점이고 마지막 답의 배점 칸은 비어 있다. 문항 배점은 문제지의 15점을 따랐고, 세부 채점표의 점수와 빈칸은 원문대로 두었다.

따라서 f(x)=e−x{sin⁡x+xcos⁡x−sin⁡x−xsin⁡x−cos⁡x+C}=e−x{xcos⁡x−xsin⁡x−cos⁡x+C}\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=e^{-x}\{\sin x+x\cos x-\sin x-x\sin x-\cos x+C\}\\&=e^{-x}\{x\cos x-x\sin x-\cos x+C\}\end{aligned}0=g(0)=f(0)=−1+C\displaystyle 0=g(0)=f(0)=-1+C로부터 C=1\displaystyle C=1

따라서 f(x)=xcos⁡x−xsin⁡x−cos⁡x+1ex\displaystyle f(x)=\frac{x\cos x-x\sin x-\cos x+1}{e^x}

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