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자연계열 3번

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인하대 2018학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2018su/jayeon_3

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문제

두 점 A,B\displaystyle A,B의 위치벡터를 각각 a⃗,b⃗\displaystyle \vec a,\vec b라 할 때, 선분 AB\displaystyle AB를 m:n\displaystyle m:n (m>0\displaystyle m>0, n>0\displaystyle n>0)으로 내분하는 점 P\displaystyle P의 위치벡터 p⃗\displaystyle \vec p는 다음과 같다.p⃗=mb⃗+na⃗m+n\displaystyle \vec p=\frac{m\vec b+n\vec a}{m+n}

(※) O\displaystyle O를 원점으로 갖는 좌표공간에 중심이 C\displaystyle C이고 선분 OP\displaystyle OP를 지름으로 하는 구에서 두 점 O,P\displaystyle O,P를 포함하는 평면 중 하나를 α\displaystyle \alpha라 하자. 아래 그림과 같이 두 점 A,B\displaystyle A,B를 평면 α\displaystyle \alpha에 대하여 서로 반대편에 위치하고 네 점 O,A,P,B\displaystyle O,A,P,B가 한 평면에 놓이도록 구 위에 A,B\displaystyle A,B를 잡자. a⃗=OA→\displaystyle \vec a=\overrightarrow{OA}, b⃗=OB→\displaystyle \vec b=\overrightarrow{OB}라 하자. 선분 OA\displaystyle OA의 중점을 M\displaystyle M, 선분 AB\displaystyle AB를 2:1\displaystyle 2:1로 내분하는 점을 N\displaystyle N이라 하자.

지름 OP인 구와 평면 α, 구 위의 점 A와 B 및 내분점 M과 N

(3-1) 벡터 MN→\displaystyle \overrightarrow{MN}을 a⃗,b⃗\displaystyle \vec a,\vec b로 나타내시오. (10점)

(3-2) 두 벡터 a⃗,b⃗\displaystyle \vec a,\vec b가 다음을 만족한다고 하자.a⃗⋅b⃗a⃗⋅a⃗=14,a⃗⋅b⃗b⃗⋅b⃗=25\displaystyle \frac{\vec a\cdot\vec b}{\vec a\cdot\vec a}=\frac14,\quad\frac{\vec a\cdot\vec b}{\vec b\cdot\vec b}=\frac25(a) 벡터 OP→\displaystyle \overrightarrow{OP}를 OP→=sa⃗+tb⃗\displaystyle \overrightarrow{OP}=s\vec a+t\vec b로 나타낼 때, 실수 s,t\displaystyle s,t의 값을 구하시오. (10점)(b) 삼각형 OPN\displaystyle OPN의 넓이를 S1\displaystyle S_1, 삼각형 OPB\displaystyle OPB의 넓이를 S2\displaystyle S_2라 할 때, S1S2\displaystyle \frac{S_1}{S_2}의 값을 구하시오. (10점)

해설강의 준비중

인하대 2018학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2018su/jayeon_3

+5점 · OM→=12a⃗\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac12\vec a, ON→=a⃗+2b⃗3\displaystyle \overrightarrow{ON}=\frac{\vec a+2\vec b}3를 구하면 5점

(3-1) OM→=12a⃗\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac12\vec a, ON→=2b⃗+a⃗3\displaystyle \overrightarrow{ON}=\frac{2\vec b+\vec a}3이므로

+5점 · MN→=ON→−OM→=(2b⃗+a⃗3)−12a⃗=−16a⃗+23b⃗\displaystyle \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\left(\frac{2\vec b+\vec a}3\right)-\frac12\vec a=-\frac16\vec a+\frac23\vec b로 표현하면 5점

MN→=ON→−OM→=(2b⃗+a⃗3)−12a⃗=−16a⃗+23b⃗\displaystyle \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\left(\frac{2\vec b+\vec a}3\right)-\frac12\vec a=-\frac16\vec a+\frac23\vec b

+4점 · AP→=OP→−OA→=(s−1)a⃗+tb⃗\displaystyle \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=(s-1)\vec a+t\vec b, BP→=OP→−OB→=sa⃗+(t−1)b⃗\displaystyle \overrightarrow{BP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}=s\vec a+(t-1)\vec b이고 두 점 A,B\displaystyle A,B가 구 위의 점이므로 OA‾⊥AP‾\displaystyle \overline{OA}\perp\overline{AP}, OB‾⊥BP‾\displaystyle \overline{OB}\perp\overline{BP}임을 언급하면 4점

(3-2)(a) OP→=sa⃗+tb⃗\displaystyle \overrightarrow{OP}=s\vec a+t\vec b이므로AP→=OP→−OA→=(s−1)a⃗+tb⃗,BP→=OP→−OB→=sa⃗+(t−1)b⃗\displaystyle \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=(s-1)\vec a+t\vec b,\quad\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}=s\vec a+(t-1)\vec b이고두 점 A,B\displaystyle A,B가 구 위의 점이므로 OA‾⊥AP‾\displaystyle \overline{OA}\perp\overline{AP}, OB‾⊥BP‾\displaystyle \overline{OB}\perp\overline{BP}이다.

+4점

(1) 0=OA→⋅AP→=(s−1)a⃗⋅a⃗+ta⃗⋅b⃗\displaystyle 0=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AP}=(s-1)\vec a\cdot\vec a+t\vec a\cdot\vec b⇒(s−1)+ta⃗⋅b⃗a⃗⋅a⃗=0\displaystyle \Rightarrow(s-1)+t\frac{\vec a\cdot\vec b}{\vec a\cdot\vec a}=0⇒(s−1)+14t=0\displaystyle \Rightarrow(s-1)+\frac14t=0

+4점

(2) 0=OB→⋅BP→=sa⃗⋅b⃗+(t−1)b⃗⋅b⃗\displaystyle 0=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{BP}=s\vec a\cdot\vec b+(t-1)\vec b\cdot\vec b⇒sa⃗⋅b⃗b⃗⋅b⃗+(t−1)=0\displaystyle \Rightarrow s\frac{\vec a\cdot\vec b}{\vec b\cdot\vec b}+(t-1)=0⇒25s+(t−1)=0\displaystyle \Rightarrow\frac25s+(t-1)=0

+3점 · s=56\displaystyle s=\frac56, t=23\displaystyle t=\frac23를 구하면 3점

Correction. 문제지에서 (3-2)(a)는 10점이지만, 대학 채점표의 세부 배점을 더하면 15점이다. 문항 전체도 문제지는 30점, 채점표 합계는 35점으로 서로 다르다. 문항 배점은 문제지의 30점을 따랐고, 세부 채점표는 원문대로 실었다.

위 식을 연립하여 풀면 s=56\displaystyle s=\frac56, t=23\displaystyle t=\frac23이다.

+5점 · OQ→=59a⃗+49b⃗\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac59\vec a+\frac49\vec b를 구하면 5점

Correction. 이 식은 (3-1)이 아니라 (3-2)(a)에서 구한 결과이다. 벡터식과 뒤의 넓이 비 계산은 맞다.

(3-2)(b) OP→\displaystyle \overrightarrow{OP}와 선분 AB\displaystyle AB의 교점을 Q\displaystyle Q라 하면 (3-1)에 의해 OP→=56a⃗+23b⃗\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac56\vec a+\frac23\vec b이므로OQ→=kOP→=56ka⃗+23kb⃗\displaystyle \overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OP}=\frac56k\vec a+\frac23k\vec b(k\displaystyle k는 0\displaystyle 0이 아닌 실수)이고 OQ→\displaystyle \overrightarrow{OQ}는 AB‾\displaystyle \overline{AB}의 내분점이므로 제시문에 의해 56k+23k=1\displaystyle \frac56k+\frac23k=1, 즉 k=23\displaystyle k=\frac23이다. 즉 OQ→=59a⃗+49b⃗\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac59\vec a+\frac49\vec b이다. 선분 AB\displaystyle AB를 2:1\displaystyle 2:1로 내분하는 점이 N\displaystyle N이므로 ON→=a⃗+2b⃗3\displaystyle \overrightarrow{ON}=\frac{\vec a+2\vec b}3이다.

+3점 · 실수 t\displaystyle t (0<t<1\displaystyle 0<t<1)에 대해서 ON→=tOQ→+(1−t)b⃗=59ta⃗+(1−59t)b⃗\displaystyle \overrightarrow{ON}=t\overrightarrow{OQ}+(1-t)\vec b=\frac59t\vec a+\left(1-\frac59t\right)\vec b이다. 계수를 비교하여 13=59t⇒t=35\displaystyle \frac13=\frac59t\Rightarrow t=\frac35를 구하면 3점

또한 실수 t\displaystyle t (0<t<1\displaystyle 0<t<1)에 대해서 ON→=tOQ→+(1−t)b⃗=59ta⃗+(1−59t)b⃗\displaystyle \overrightarrow{ON}=t\overrightarrow{OQ}+(1-t)\vec b=\frac59t\vec a+\left(1-\frac59t\right)\vec b이다.계수를 비교하면 13=59t⇒t=35\displaystyle \frac13=\frac59t\Rightarrow t=\frac35이다.

+2점 · ON→=35OQ→+25b⃗\displaystyle \overrightarrow{ON}=\frac35\overrightarrow{OQ}+\frac25\vec b가 선분 QB\displaystyle QB의 2:3\displaystyle 2:3으로 내분함을 언급하고 S1S2=25\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=\frac25를 구하면 2점

따라서 ON→=35OQ→+25b⃗\displaystyle \overrightarrow{ON}=\frac35\overrightarrow{OQ}+\frac25\vec b이다. 즉 점 N\displaystyle N은 선분 QB\displaystyle QB의 2:3\displaystyle 2:3으로 내분한다. 결국 S1S2=25\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=\frac25이다.

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