자연계열 3번

(3-1) $\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac12\vec a$, $\displaystyle \overrightarrow{ON}=\frac{2\vec b+\vec a}3$이므로$\displaystyle \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\left(\frac{2\vec b+\vec a}3\right)-\frac12\vec a=-\frac16\vec a+\frac23\vec b$

(3-2)(a) $\displaystyle \overrightarrow{OP}=s\vec a+t\vec b$이므로$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=(s-1)\vec a+t\vec b,\quad\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}=s\vec a+(t-1)\vec b$이고두 점 $\displaystyle A,B$가 구 위의 점이므로 $\displaystyle \overline{OA}\perp\overline{AP}$, $\displaystyle \overline{OB}\perp\overline{BP}$이다.

(1) $\displaystyle 0=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AP}=(s-1)\vec a\cdot\vec a+t\vec a\cdot\vec b$$\displaystyle \Rightarrow(s-1)+t\frac{\vec a\cdot\vec b}{\vec a\cdot\vec a}=0$$\displaystyle \Rightarrow(s-1)+\frac14t=0$

(2) $\displaystyle 0=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{BP}=s\vec a\cdot\vec b+(t-1)\vec b\cdot\vec b$$\displaystyle \Rightarrow s\frac{\vec a\cdot\vec b}{\vec b\cdot\vec b}+(t-1)=0$$\displaystyle \Rightarrow\frac25s+(t-1)=0$

위 식을 연립하여 풀면 $\displaystyle s=\frac56$, $\displaystyle t=\frac23$이다.

(3-2)(b) $\displaystyle \overrightarrow{OP}$와 선분 $\displaystyle AB$의 교점을 $\displaystyle Q$라 하면 (3-1)에 의해 $\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac56\vec a+\frac23\vec b$이므로$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OP}=\frac56k\vec a+\frac23k\vec b$($\displaystyle k$는 $\displaystyle 0$이 아닌 실수)이고 $\displaystyle \overrightarrow{OQ}$는 $\displaystyle \overline{AB}$의 내분점이므로 제시문에 의해 $\displaystyle \frac56k+\frac23k=1$, 즉 $\displaystyle k=\frac23$이다. 즉 $\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac59\vec a+\frac49\vec b$이다. 선분 $\displaystyle AB$를 $\displaystyle 2:1$로 내분하는 점이 $\displaystyle N$이므로 $\displaystyle \overrightarrow{ON}=\frac{\vec a+2\vec b}3$이다.

또한 실수 $\displaystyle t$ ($\displaystyle 0<t<1$)에 대해서 $\displaystyle \overrightarrow{ON}=t\overrightarrow{OQ}+(1-t)\vec b=\frac59t\vec a+\left(1-\frac59t\right)\vec b$이다.계수를 비교하면 $\displaystyle \frac13=\frac59t\Rightarrow t=\frac35$이다. 따라서 $\displaystyle \overrightarrow{ON}=\frac35\overrightarrow{OQ}+\frac25\vec b$이다. 즉 점 $\displaystyle N$은 선분 $\displaystyle QB$의 $\displaystyle 2:3$으로 내분한다. 결국 $\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=\frac25$이다.