자연계열 (오후2) 3번

(3-1) (15점)사면체 $\displaystyle OABC$의 꼭짓점 $\displaystyle A,B,C$의 좌표를 구하면 $\displaystyle A\left(1,\frac12,0\right)$, $\displaystyle B(0,1,0)$, $\displaystyle C(0,0,2)$이다.벡터 $\displaystyle \overrightarrow{OP}$의 성분은 $\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac13\overrightarrow{OB}+\frac23\overrightarrow{OC}=\left(0,\frac13,0\right)+\left(0,0,\frac43\right)=\left(0,\frac13,\frac43\right)$이다.

$\displaystyle \overrightarrow{OA}$와 $\displaystyle \overrightarrow{OP}$가 이루는 각을 $\displaystyle \theta$ ($\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$)라 하면 삼각형 $\displaystyle OAP$의 넓이 $\displaystyle S$는$\displaystyle \begin{aligned}S&=\frac12|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OP}|\sin\theta=\frac12\sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2|\overrightarrow{OP}|^2-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP})^2}\\&=\frac12\sqrt{\left(1+\frac14\right)\left(\frac19+\frac{16}9\right)-\left(\frac16\right)^2}=\frac12\sqrt{\frac73}=\frac{\sqrt{21}}6\end{aligned}$

(3-2) (a) (5점)평면 $\displaystyle \alpha$의 법선벡터를 $\displaystyle \vec n$이라 하면 $\displaystyle \vec n=(1,2,1)$이다. $\displaystyle \vec n$에 평행하고 원점을 지나는 직선은$\displaystyle x=t,y=2t,z=t$ ($\displaystyle t$는 $\displaystyle 0$이 아닌 임의의 실수)이를 평면 $\displaystyle \alpha$에 대입하면 $\displaystyle t+4t+t=6t=2$, 즉 $\displaystyle t=\frac13$이다. 따라서 $\displaystyle H\left(\frac13,\frac23,\frac13\right)$이다.$\displaystyle |\overrightarrow{OH}|=\sqrt{\frac19+\frac49+\frac19}=\sqrt{\frac69}=\sqrt{\frac23}$이므로 $\displaystyle k$의 범위는 $\displaystyle 0<k<\sqrt{\frac23}$이다.

(3-2) (b) (15점)원 $\displaystyle S_k$의 반지름을 $\displaystyle r$라 하면 $\displaystyle r=\sqrt{\frac23-k^2}$이다. 따라서 원뿔의 부피 $\displaystyle f(t)$는$\displaystyle f(t)=\frac13\pi r^2k=\frac13\pi k\left(\frac23-k^2\right)=\frac{2\pi}9k-\frac\pi3k^3$$\displaystyle f^{\prime}(k)=\frac{2\pi}9-\pi k^2=0$으로부터 $\displaystyle k=\frac{\sqrt2}3$이다. $\displaystyle k=\frac{\sqrt2}3$ 주변에서 $\displaystyle f^{\prime}(k)$의 부호가 양수에서 음수로 변하므로 범위 $\displaystyle 0<k<\sqrt{\frac23}$에서$\displaystyle f\left(\frac{\sqrt2}3\right)=\frac{2\pi}9\frac{\sqrt2}3-\frac\pi3\frac{2\sqrt2}{27}=\frac{4\sqrt2}{81}\pi$는 최댓값이다.