자연계열 (오후2) 3번

인하대 2018학년도 수시 자연계열 (오후2) 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2018su/jayeon_pm2_3

(가) 두 점 $\displaystyle A,B$ 의 위치벡터를 각각 $\displaystyle \vec a,\vec b$ 라 할 때, 선분 $\displaystyle AB$ 를 $\displaystyle m:n$ ( $\displaystyle m>0$ , $\displaystyle n>0$ )으로 내분하는 점 $\displaystyle P$ 의 위치벡터 $\displaystyle \vec p$ 는 다음과 같다. $\displaystyle \vec p=\frac{m\vec b+n\vec a}{m+n}$

(나) 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ 와 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ 가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta$ ( $\displaystyle 0<\theta<\pi$ )라 할 때, 삼각형 $\displaystyle OAB$ 의 넓이 $\displaystyle S$ 는 다음과 같다. $\displaystyle S=\frac12|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\sin\theta$

(※) $\displaystyle O$ 를 원점으로 하는 좌표공간에서 아래 그림과 같이 네 평면 $\displaystyle x+2y+z=2,\quad x=2y,\quad x=0,\quad z=0$ 으로 둘러싸인 사면체 $\displaystyle OABC$ 가 있다.

사면체 OABC와 내분점 P, 수선의 발 H 및 구와 평면의 교선 S_k

(3-1) [그림 1]에서 선분 $\displaystyle BC$ 를 $\displaystyle 2:1$ 로 내분하는 점을 $\displaystyle P$ 라 하자. 삼각형 $\displaystyle OAP$ 의 넓이를 제시문 (나)와 벡터의 내적을 이용하여 구하시오. (15점)

(3-2) [그림 2]에서 원점 $\displaystyle O$ 를 지나고 평면 $\displaystyle \alpha:x+2y+z=2$ 에 수직인 직선과 평면 $\displaystyle \alpha$ 의 교점을 $\displaystyle H$ 라 하자. 또한 $\displaystyle H$ 에서 거리가 $\displaystyle k$ 인 선분 $\displaystyle OH$ 위의 점을 $\displaystyle P_k$ 라 하자. (단, $\displaystyle P_k$ 는 양 끝점 $\displaystyle O$ 와 $\displaystyle H$ 는 아니다.)(a) 점 $\displaystyle H$ 의 좌표와 $\displaystyle k$ 의 범위를 구하시오. (5점)(b) $\displaystyle P_k$ 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle \overline{OH}$ 인 구와 평면 $\displaystyle \alpha$ 의 교선을 $\displaystyle S_k$ 라 하자. 밑면이 $\displaystyle S_k$ 이고 꼭짓점이 $\displaystyle P_k$ 인 원뿔의 부피를 $\displaystyle f(k)$ 라 할 때, $\displaystyle f(k)$ 의 최댓값을 구하시오. (15점)

해설강의 준비중

인하대 2018학년도 수시 자연계열 (오후2) 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2018su/jayeon_pm2_3

+2점

(3-1) (15점)사면체 $\displaystyle OABC$ 의 꼭짓점 $\displaystyle A,B,C$ 의 좌표를 구하면 $\displaystyle A\left(1,\frac12,0\right)$ , $\displaystyle B(0,1,0)$ , $\displaystyle C(0,0,2)$ 이다.

+3점

벡터 $\displaystyle \overrightarrow{OP}$ 의 성분은 $\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac13\overrightarrow{OB}+\frac23\overrightarrow{OC}=\left(0,\frac13,0\right)+\left(0,0,\frac43\right)=\left(0,\frac13,\frac43\right)$ 이다.

+7점 ·

\displaystyle \overrightarrow{OA}

와

\displaystyle \overrightarrow{OP}

가 이루는 각을

\displaystyle \theta

(

\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2

)라 하면 삼각형

\displaystyle OAP

의 넓이

\displaystyle S

는

\displaystyle S=\frac12|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OP}|\sin\theta=\frac12\sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2|\overrightarrow{OP}|^2-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP})^2}

+3점 ·

\displaystyle =\frac12\sqrt{\left(1+\frac14\right)\left(\frac19+\frac{16}9\right)-\left(\frac16\right)^2}=\frac12\sqrt{\frac73}=\frac{\sqrt{21}}6

$\displaystyle \overrightarrow{OA}$ 와 $\displaystyle \overrightarrow{OP}$ 가 이루는 각을 $\displaystyle \theta$ ( $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$ )라 하면 삼각형 $\displaystyle OAP$ 의 넓이 $\displaystyle S$ 는 $\displaystyle \begin{aligned}S&=\frac12|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OP}|\sin\theta=\frac12\sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2|\overrightarrow{OP}|^2-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP})^2}\\&=\frac12\sqrt{\left(1+\frac14\right)\left(\frac19+\frac{16}9\right)-\left(\frac16\right)^2}=\frac12\sqrt{\frac73}=\frac{\sqrt{21}}6\end{aligned}$

+5점

Correction. 직선의 매개변수에 붙인 “0이 아닌”은 오기이다. 원점을 지나는 직선 전체를 나타내려면 $\displaystyle x=t,\ y=2t,\ z=t$ 에서 $\displaystyle t$ 는 $\displaystyle 0$ 을 포함한 모든 실수여야 한다. 평면과의 교점은 $\displaystyle t=\frac13$ 에 해당하므로 교점의 좌표와 최종 답은 달라지지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(3-2) (a) (5점)평면 $\displaystyle \alpha$ 의 법선벡터를 $\displaystyle \vec n$ 이라 하면 $\displaystyle \vec n=(1,2,1)$ 이다. $\displaystyle \vec n$ 에 평행하고 원점을 지나는 직선은 $\displaystyle x=t,y=2t,z=t$ ( $\displaystyle t$ 는 $\displaystyle 0$ 이 아닌 임의의 실수)이를 평면 $\displaystyle \alpha$ 에 대입하면 $\displaystyle t+4t+t=6t=2$ , 즉 $\displaystyle t=\frac13$ 이다. 따라서 $\displaystyle H\left(\frac13,\frac23,\frac13\right)$ 이다.

+5점

Correction. 문제지에서 (3-2)(a)는 5점이지만, 대학 채점표에서는 좌표와 범위에 각각 5점씩 배정하여 합계가 10점이다. 문항 전체도 문제지는 35점, 채점표 합계는 40점으로 서로 다르다. 문항 배점은 문제지의 35점을 따랐고, 세부 채점표는 원문대로 실었다.

$\displaystyle |\overrightarrow{OH}|=\sqrt{\frac19+\frac49+\frac19}=\sqrt{\frac69}=\sqrt{\frac23}$ 이므로 $\displaystyle k$ 의 범위는 $\displaystyle 0<k<\sqrt{\frac23}$ 이다.

+5점

Correction. 원뿔의 부피는 거리 $\displaystyle k$ 에 대한 함수이므로 이 식의 왼쪽은 $\displaystyle f(t)$ 가 아니라 $\displaystyle f(k)$ 이다. 뒤의 미분과 최댓값 계산은 $\displaystyle k$ 를 기준으로 바르게 이루어져 있다.

(3-2) (b) (15점)원 $\displaystyle S_k$ 의 반지름을 $\displaystyle r$ 라 하면 $\displaystyle r=\sqrt{\frac23-k^2}$ 이다. 따라서 원뿔의 부피 $\displaystyle f(t)$ 는 $\displaystyle f(t)=\frac13\pi r^2k=\frac13\pi k\left(\frac23-k^2\right)=\frac{2\pi}9k-\frac\pi3k^3$

+5점

$\displaystyle f^{\prime}(k)=\frac{2\pi}9-\pi k^2=0$ 으로부터 $\displaystyle k=\frac{\sqrt2}3$ 이다. $\displaystyle k=\frac{\sqrt2}3$ 주변에서 $\displaystyle f^{\prime}(k)$ 의 부호가 양수에서 음수로 변하므로

+5점

범위 $\displaystyle 0<k<\sqrt{\frac23}$ 에서 $\displaystyle f\left(\frac{\sqrt2}3\right)=\frac{2\pi}9\frac{\sqrt2}3-\frac\pi3\frac{2\sqrt2}{27}=\frac{4\sqrt2}{81}\pi$ 는 최댓값이다.

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