자연계열 (오후1) 1번

(1-1) 곡선 $\displaystyle y=\frac1x$ ($\displaystyle x>0$)과 두 직선 $\displaystyle y=mx,y=nx$의 교점의 좌표는 각각 $\displaystyle \left(\frac1{\sqrt m},\sqrt m\right)$, $\displaystyle \left(\frac1{\sqrt n},\sqrt n\right)$이므로 곡선 $\displaystyle y=\frac1x$ ($\displaystyle x>0$)과 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=\frac1{\sqrt m}$, $\displaystyle x=\frac1{\sqrt n}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\displaystyle S^{\prime}$이라고 하면 제시문 (가)에 의해 구하는 넓이 $\displaystyle A_{m,n}$은 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{aligned}A_{m,n}&=S^{\prime}+\triangle OAA^{\prime}-\triangle OBB^{\prime}\\&=\int_{\frac1{\sqrt m}}^{\frac1{\sqrt n}}\frac1x\,dx+\frac12\frac1{\sqrt m}\sqrt m-\frac12\frac1{\sqrt n}\sqrt n\\&=\Biggl[\ln x\Biggr]_{\frac1{\sqrt m}}^{\frac1{\sqrt n}}=\ln\frac1{\sqrt n}-\ln\frac1{\sqrt m}=\frac12\ln\frac mn\end{aligned}$

(1-2) (1-1)과 제시문 (나)와 (다)에 의해 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{A_{n+k,n}}n&=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^nA_{n+k,n}=\frac12\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\ln\frac{n+k}n\\&=\frac12\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac kn\right)=\frac12\int_1^2\ln x\,dx=\frac12\Biggl[x\ln x-x\Biggr]_1^2=\ln2-\frac12=\ln\frac2{\sqrt e}\end{aligned}$