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자연계열 (오후1) 1번

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인하대 2018학년도 수시 자연계열 (오후1) 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2018su/jayeon_pm1_1

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문제

(가) 두 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)가 닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때, 두 곡선 y=f(x),y=g(x)\displaystyle y=f(x),y=g(x)와 두 직선 x=a,x=b\displaystyle x=a,x=b로 둘러싸인 도형의 넓이는 다음과 같다.S=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dx\displaystyle S=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx

(나) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이면 다음이 성립한다.lim⁡n→∞∑k=1nf(xk)Δx=∫abf(x) dx,Δx=b−an, xk=a+kΔx\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf(x_k)\Delta x=\int_a^bf(x)\,dx,\quad\Delta x=\frac{b-a}n,\ x_k=a+k\Delta x

(다) (정적분의 부분적분법) 닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 열린 구간 (a,b)\displaystyle (a,b)에서 미분가능한 두 함수 f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x)에 대하여 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)와 g′(x)\displaystyle g^{\prime}(x)가 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이면 다음이 성립한다.∫abf(x)g′(x) dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x) dx\displaystyle \int_a^bf(x)g^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^bf^{\prime}(x)g(x)\,dx

(※) 아래 그림과 같이 곡선 y=1x\displaystyle y=\frac1x (x>0\displaystyle x>0)과 두 직선 y=mx,y=nx\displaystyle y=mx,y=nx로 둘러싸인 도형의 넓이를 Am,n\displaystyle A_{m,n}이라 하자. (단, m,n\displaystyle m,n은 m>n\displaystyle m>n인 자연수이다.)

곡선 y=1/x와 두 직선 y=mx, y=nx 사이의 영역

(1-1) Am,n\displaystyle A_{m,n}을 m,n\displaystyle m,n으로 나타내시오. (15점)

(1-2) lim⁡n→∞∑k=1nAn+k,nn\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{A_{n+k,n}}n의 값을 구하시오. (15점)

해설강의 준비중

인하대 2018학년도 수시 자연계열 (오후1) 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2018su/jayeon_pm1_1

+3점 · 곡선 y=1x\displaystyle y=\frac1x (x>0\displaystyle x>0)과 두 직선 y=mx,y=nx\displaystyle y=mx,y=nx의 교점의 좌표 (1m,m)\displaystyle \left(\frac1{\sqrt m},\sqrt m\right), (1n,n)\displaystyle \left(\frac1{\sqrt n},\sqrt n\right)를 구하면 3점

(1-1) 곡선 y=1x\displaystyle y=\frac1x (x>0\displaystyle x>0)과 두 직선 y=mx,y=nx\displaystyle y=mx,y=nx의 교점의 좌표는 각각 (1m,m)\displaystyle \left(\frac1{\sqrt m},\sqrt m\right), (1n,n)\displaystyle \left(\frac1{\sqrt n},\sqrt n\right)이므로

+6점 · 적절한 방법으로 구하고자 하는 영역을 분할하여 적분으로 표현 하면 6점

곡선 y=1x\displaystyle y=\frac1x (x>0\displaystyle x>0)과 x\displaystyle x축 및 두 직선 x=1m\displaystyle x=\frac1{\sqrt m}, x=1n\displaystyle x=\frac1{\sqrt n}로 둘러싸인 부분의 넓이를 S′\displaystyle S^{\prime}이라고 하면 제시문 (가)에 의해 구하는 넓이 Am,n\displaystyle A_{m,n}은 다음과 같다.

두 교점 A, B와 x축 위의 정사영 A′, B′를 이용한 넓이 계산
+6점 · 적분값을 계산하면 6점

Am,n=S′+△OAA′−△OBB′=∫1m1n1x dx+121mm−121nn=[ln⁡x]1m1n=ln⁡1n−ln⁡1m=12ln⁡mn\displaystyle \begin{aligned}A_{m,n}&=S^{\prime}+\triangle OAA^{\prime}-\triangle OBB^{\prime}\\&=\int_{\frac1{\sqrt m}}^{\frac1{\sqrt n}}\frac1x\,dx+\frac12\frac1{\sqrt m}\sqrt m-\frac12\frac1{\sqrt n}\sqrt n\\&=\Biggl[\ln x\Biggr]_{\frac1{\sqrt m}}^{\frac1{\sqrt n}}=\ln\frac1{\sqrt n}-\ln\frac1{\sqrt m}=\frac12\ln\frac mn\end{aligned}

+5점 · 다음과 같이 표현하면 10점 lim⁡n→∞∑k=1nAn+k,nn=lim⁡n→∞1n∑k=1nAn+k,n=12lim⁡n→∞1n∑k=1nln⁡n+kn=12lim⁡n→∞1n∑k=1nln⁡(1+kn)\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{A_{n+k,n}}n=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^nA_{n+k,n}=\frac12\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\ln\frac{n+k}n=\frac12\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac kn\right)

Correction. (1-2) 채점표의 설명에는 앞 두 단계가 각각 10점·3점으로 적혀 있지만, 오른쪽 배점 열에는 두 단계 모두 5점으로 적혀 있다. 배점은 오른쪽 열을 기준으로 표시했으며, 세 단계의 합은 문제지의 15점과 같다. 설명에 적힌 점수는 원문대로 두었다.

+5점 · 12∫12ln⁡x dx\displaystyle \frac12\int_1^2\ln x\,dx로 표현하면 3점
+5점 · 12∫12ln⁡x dx=12[xln⁡x−x]12=ln⁡2−12=ln⁡2e\displaystyle \frac12\int_1^2\ln x\,dx=\frac12\Biggl[x\ln x-x\Biggr]_1^2=\ln2-\frac12=\ln\frac2{\sqrt e}이 맞으면 5점

(1-2) (1-1)과 제시문 (나)와 (다)에 의해 다음과 같다.lim⁡n→∞∑k=1nAn+k,nn=lim⁡n→∞1n∑k=1nAn+k,n=12lim⁡n→∞1n∑k=1nln⁡n+kn=12lim⁡n→∞1n∑k=1nln⁡(1+kn)=12∫12ln⁡x dx=12[xln⁡x−x]12=ln⁡2−12=ln⁡2e\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{A_{n+k,n}}n&=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^nA_{n+k,n}=\frac12\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\ln\frac{n+k}n\\&=\frac12\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac kn\right)=\frac12\int_1^2\ln x\,dx=\frac12\Biggl[x\ln x-x\Biggr]_1^2=\ln2-\frac12=\ln\frac2{\sqrt e}\end{aligned}

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