자연계열 (오후1) 3번

(3-1) 원 $\displaystyle x^2+y^2=16,z=3$ 위의 점을 $\displaystyle C(a,b,3)$이라 하면 원점 $\displaystyle O$와 $\displaystyle C$를 지나는 직선의 방정식 $\displaystyle l$은 $\displaystyle \frac xa=\frac yb=\frac z3$이다. $\displaystyle \frac xa=\frac yb=\frac z3=t$로 놓으면 $\displaystyle x=at,y=bt,z=3t$이고 이 식을 구의 방정식에 대입하여 $\displaystyle t$를 구하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}(at-a)^2+(bt-b)^2+(3t-3)^2&=1\\\Rightarrow a^2(t-1)^2+b^2(t-1)^2+9(t-1)^2&=1\\\Rightarrow a^2+b^2+9&=\frac1{(t-1)^2}\\\Rightarrow t&=\frac65,\frac45\end{aligned}$따라서 $\displaystyle S_1=\left(\frac65a,\frac65b,\frac{18}5\right)$, $\displaystyle S_2=\left(\frac45a,\frac45b,\frac{12}5\right)$이다.

평면 $\displaystyle \alpha$의 법선벡터는 $\displaystyle \overrightarrow{n_1}=(0,0,1)$이고 평면 $\displaystyle \beta_l$의 법선벡터는 $\displaystyle \overrightarrow{n_2}=(a,b,3)$이므로 두 평면이 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 하면 $\displaystyle a^2+b^2=16$이므로 제시문 (나)에 의해$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac3{\sqrt{a^2+b^2+9}}=\frac35$이다.

위의 정사영을 생각하면 구의 중심이 원 위를 움직일 때, 평면 $\displaystyle \beta_l$위의 도형 $\displaystyle F$의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영들의 도형은 아래와 같이 반지름이 $\displaystyle \frac{17}5$와 $\displaystyle \frac{23}5$인 두 원으로 둘러싸인 영역이 된다.

따라서 구의 중심이 $\displaystyle 0\le b\le4$를 만족하는 원 위를 움직일 때, 구하고자 하는 영역은 위의 그림에서 빨간색으로 표시된 영역, 즉 $\displaystyle xy$평면 위쪽의 반원들로 이루어진 영역과 $\displaystyle b=0$일 때 $\displaystyle (a,b,3)=(4,0,3)$과 $\displaystyle (a,b,3)=(-4,0,3)$을 중심으로 하는 평면 $\displaystyle \beta_l$위의 반지름이 $\displaystyle 1$인 반원들의 정사영으로 이루어진 도형의 넓이를 $\displaystyle S$라 하면$\displaystyle \begin{aligned}S&=\frac12\pi\left[\left(\frac{23}5\right)^2-\left(\frac{17}5\right)^2\right]+\frac\pi2\cos\theta+\frac\pi2\cos\theta\\&=\frac12\pi\left[\left(\frac{23}5\right)^2-\left(\frac{17}5\right)^2\right]+\pi\cos\theta\\&=\frac12\pi\left[\left(\frac{23}5\right)^2-\left(\frac{17}5\right)^2\right]+\frac35\pi=\frac{27}5\pi\end{aligned}$이다.